Прошу ответить доступным, 'школьным', не взросло-математическим языком :

А давайте сразу без пределов. Разберемся сперва с прямой пропорциональностью, y = kx, С этим "b" в вопросе вы сами запутались.

(fg)' = f'*g + f*(g')
x' = 1
(C*f(x))' = C*f'(x)
=>
(x^2)' = x'x + x(x') = 1*x + x*1 = 2x
=> ((k/2) * x^2)' = kx, т.е. kx^2/2 - одна из первообразных для вашей функции kx
По лемме об общем виде первообразной, интеграл (kx)dx = kx^2/2 + C, где C - произвольная постоянная.
Неопределенный интеграл для заданной функции - совокупность всех ее первообразных. Это операция, обратная дифференцированию, она многозначна в том смысле, что одной функции может сопоставлять много функций.

Если проинтегрировать просто функцию-константу b, получатся функции вида bx + C. Док-во аналогично, только первое свойство (правило произведения) тут не нужно.
Если тело движется равноускоренно с ускорением a и начальной скоростью v0,
то v(t) = at + v0, ваша линейная функция, только вместо кожффициента k здесь ускорение a и вместо числа b здесь v0
Проинтегрируем, получим для координаты
x(t) = at^2/2 + v0t + x0, где x0 - произвольная постоянная, по счастливому вопадению совпадающая с начальной координатой тела. На уроках матеши вы бы вместо x0 написали C, вместо t написали бы x, вместо x написали бы y и т.п., но хрен редьки не слаще.

Квадратная парабола графически.

Иниеграл(кх+b) dx