Метод математической индукции

При n = 2 получается 16 - 9 - 7 = 0 - делится на 84 (в частном 0, и в остатке 0)
Пусть при n = 2k выражение делится на 84, т. е.
4^(2k) - 3^(2k) - 7 = (4^2)^k - (3^2)^k - 7 =
= 16^k - 9^k - 7 - делится на 84
Рассмотрим его при n = 2(k + 1). Получаем:
16^(k + 1) - 9^(k + 1) - 7 =
= 16*16^k - 9*9^k - 7 =
= 7*16^k + 9*16^k - 9*9^k - 9*7 + 8*7 =
= 7*16^k + 8*7 + 9*(16^k - 9^k - 7)
По индуктивному предположению 16^k - 9^k - 7 делится на 84, значит и 9*(16^k - 9^k - 7) делится на 84. Осталось доказать, что 7*16^k + 8*7 делится на 84. Имеем:
7*16^k + 8*7 = 7*(16^k + 8).
Т. к. 84 = 7*12, а 7 и 12 - взаимно простые числа, то достаточно доказать, что
16^k + 8 делится на 12.
Для этого снова можем воспользоваться методом математической индукции.
При k = 1 получаем 16 + 8 = 24 - делится на 12
Пусть 16^m + 8 делится на 12. Тогда:
16^(m + 1) + 8 = 16*16^m + 8 = 16*16^m + 16*8 - 15*8 = 16*(16^m + 8) - 120.
16^m + 8 делится на 12 (согласно индуктивному предположению) и 120 делится на 12. Значит, всё выражение делится на 12.
Итак, 16^k + 8 делится на 12 при любом натуральном k, значит, 7*(16^k + 8) делится на 84. Значит, и выражение 7*16^k + 8*7 + 9*(16^k - 9^k - 7) делится на 84.
Согласно методу математической индукции, получаем, что и исходное выражение делится на 84.