Методом мат индукции доказать, что при любом натуральном n 5*7^2n+2 + 2^3n кратное 41.

В качестве базы индукции выберем n = 0:
5 * 7^(0 + 2) + 2^(0 * 3) = 5 * 49 + 1 = 246 = 41 * 6 -- делится на 41

Теперь предположим, что все числа вида 5*7^(2n+2) + 2^(3n) делятся на 41 при n ≤ k и докажем, что тогда отсюда последует, что и число, соответствующее n = k + 1 также поделится на 41. Выпишем это самое число и немного преобразуем:

5 * 7^(2(k + 1)+2) + 2^(3(k + 1)) = 5 * 7^(2k + 4) + 2^(3k + 3) =
= 5 *49 * 7^(2k + 2) + 8 * 2^(3k)

теперь удобно вычесть и прибавить к этому числу 49 * 2^(3k), чтобы получилось красиво:

... = 5 *49 * 7^(2k + 2) + 8 * 2^(3k) + 49 * 2^(3k) - 49 * 2^(3k) =
= 49 * (5 *7^(2k + 2) + 2^(3k)) + (8 - 49) * 2^(3k)

Число A = 49 * (5 *7^(2k + 2) + 2^(3k)) делится на 41 по предположению индукции, так как второй множитель в нём как раз представляет число, рассматриваемого нами типа, при n = k. Число B = (8 - 49) * 2^(3k) = 41 * 2^(3k) также очевидно делится на 41, поэтому на 41 делится и их сумма, которую мы и рассматривали всё это время. Кажется, это и требовалось доказать

---------
Я старался сделать всё как можно проще и понятнее, не залезая в модулярную арифметику