Докажите, что при любом натуральном n дробь 39n+7/65n+12 несократима

(39n + 7)/(65n + 12)
Чтобы сократить дробь, нужно, чтобы числитель и знаменатель делились на одно и то же число. То есть, при разложении на множители и в числителе, и в знаменателе мы могли бы вынести за скобку какие-то числа, имеющие общий делитель.
Рассмотрим числитель:
39n + 7 = 3*13*n + 7
Мы видим, числа 39 и 7 не имеют общих делителей. Тогда единственный вариант вынести какое-то число за скобку будет, если n кратно 7 (равно 7, 14, 21 и т. д.), n = 7*m.
Тогда числитель примет вид:
39n + 7 = 39*7*m + 7 =
7(39m + 1)
Теперь рассмотрим знаменатель:
65n + 12 = 5*13*n + 2*2*3
При разложении на простые множители видно, что общих множителей у 65 и 12 нет. Значит, за скобку мы можем вынести только 2, 3 или их произведения при условии, что n будет кратно этим числам. То есть, знаменатель будет иметь подобный вид:
2(65m + 6), или
3(65k + 4), или
4(65a + 3), или
6(65b + 2), или
12(65c + 1).
Это понятно?
В итоге мы пришли к выводу, что в числителе мы можем вынести за скобку только 7, а в знаменателе одно из чисел: 2, 3, 4, 6 или 12.
То есть, нет ни одного общего делителя у 7 и любого из чисел знаменателя. Мы не можем сократить эту дробь ни при каких натуральных значениях n.