Докажите, что многочлен G (x) = x^( 2n - 1 ) + a ^( 2n - 1 ) (n∈N) делится на многочлен ( x + a ), и найдите частное

x^( 2n - 1 ) + a ^( 2n - 1 ) = (x + a)*(x^(2n -2) - x^(2n - 3)*a + .+a^(2n -2))

G(-a) = 0, следовательно, G(x) делится на (x - -a) по теореме Безу.
Можно, конечно, было сразу поделить, но тогда бы не было повода вспомнить Безу.

Извините, не успел ответить первым, теперь придется вам без Безу жить: -)

Думаю удобнее всего доказать по индукции.

Сначала докажем, что утверждение верно для n = 1
(x^(2*1 - 1) + a^(2*1 - 1))/(x + a) = (x + a)/(x + a) = 1

а теперь докажем, что если утверждение верно для некого k, то оно верно и для k+1
x^(2*(k+1) - 1) + a^(2*(k+1) - 1) = x^(2k - 1) * x^2 + a^(2k - 1) * a^2 =
= x^2*(x^(2k - 1) + a^(2k - 1) * a^2/x^2) =
= x^2*(x^(2k - 1) + a^(2k - 1) - a^(2k - 1) * (x^2 - a^2)/x^2) =
= x^2 * m * (x+a) - a^(2k - 1) * (x+a)(x-a) = (x + a)*(x^2 * m - a^(2k - 1)(x - a))
ДОКАЗАНО.

Ну а чтобы поделить, давайте будем делить не (x^(2n-1) + a^(2n-1)), просто x^(2n-1), а потом прибавим остальное. Только мы ещё немного упростим задачу и будем делить x^k (лишь запомним, что наше k нечётное, потому как k=2n-1)
x^k/(x+a) = (x^k + a*x^(k-1))/(x+a) - a*x^(k-1)/(x+a) = x^(k-1) - a*x^(k-1)/(x+a) = x^(k-1) + (-a/x)*x^k/(x+a)

опять же рассуждая по индукции мы приходим к тому, что
x^k/(x+a) = ∑(i=0; k-1; x^(k-1) * (-a/x)^i) + (-a/x)^k * x^k/(x+a) =
= x^(k-1) * ∑(i=0; k-1; (-a/x)^i) + (-a)^k/(x+a) =
= x^(k-1) * ∑(i=0; k-1; (-a/x)^i) - a^k/(x+a) // так, как k нечётное, то (-a)^k = -a^k

теперь вспомнит про раннее забытое a^k
x^k/(x+a) + a^k/(x+a) = x^(k-1) * ∑(i=0; k-1; (-a/x)^i) - a^k/(x+a) + a^k/(x+a) =
= x^(k-1) * ∑(i=0; k-1; (-a/x)^i)

теперь заменим k = 2n-1 и получим:
(x^(2n-1) + a^(2n-1))/(x+a) = x^(2n-2) * ∑(i=0; 2n-2; (-a/x)^i)