У Коли есть кубики двух цветов. Он строит из них башню, ставя каждый следующий кубик на предыдуший.

Наверняка существует и куда более простое и рациональное решение. Но я пока что нашёл такое.

Для начала пусть есть 12 кубиков двух цветов - по 6 кубиков каждого цвета (для определённости пускай это будут 6 синих, и 6 красных), и пусть из них выстроена башня. Тогда для каждой такой башни наверх можно положить либо синий, либо красный кубик, и тогда построение башни тут же заканчивается: ведь по условию Коля заканчивает строить башню сразу же, как только в ней оказываются 7 кубиков одного цвета.

Посчитаем, сколько таких башен существует. Если бы все кубики были разноцветными, то их было бы 12! Но в башне есть 6 синих кубиков и 6 красных кубиков, так что перестановка любой пары синих кубиков не даёт нам новую башню. 6 синих кубиков мы можем переставить 6! способами и столько же для красных. Следовательно, общее число башен из 12 кубиков надо разделить ещё на 6!, а потом ещё раз на 6!. Получится 12! / (6! * 6!). И поверх каждой такой башни можно сверху положить либо синий, либо красный кубик - всего 2 комбинации, так что всего башен из 13 кубиков получается 2*12! / (6! * 6!)

Теперь пусть есть башня из 6 синих кубиков и 5 красных кубиков. Если мы положим сверху синий кубик, то башня тут же заканчивается. Аналогично, когда есть башня из 5 синих кубиков и 6 красных, то она заканчивается, как только сверху оказывается ещё один красный кубик. Получается таким образом башня из 11 кубиков и ещё кубик сверху - и так 2 раза. Аналогично рассуждая, количество таких башен равно 11! / (6! * 5!), если синих кубиков 6, а красных 5 и столько же - наоборот. Всего: 2*11! / (6! * 5!)

Далее, аналогично, для общего количества башен из 6 кубиков одного цвета и 4 кубиков другого всего есть вариантов 2*10! / (6! * 4!) (10! / (6! * 4!) для 6 кубиков синего цвета и 4 красного и столько же для случая наоборот).

Для сочетания 6 - 3 (6 кубиков одного цвета и 3 другого) есть 2*9! / (6!*3!) вариантов.
Для сочетания 6-2 есть 2*8! / (6! * 2!) вариантов
Для сочетания 6-1 есть 2*7! / (6! * 1!) вариантов.
И (формально продолжая закономерность), для сочетания 6-0 (все кубики одного цвета есть 2*6! / (6! * 0!) - всего 2 варианта (всего 7 кубиков, и все либо синие, либо красные).

Остаётся только всё это сложить. Вынося общий множитель за скобку, получим:

(2 / 6!) * (12! / 6! + 11! / 5! + 10! / 4! + 9! / 3! + 8! / 2! + 7! / 1! + 6! / 0!) - таково общее количество всевозможных башен, которые может построить Коля.

Считаем: (2 / (1*2*3*4*5*6)) * (12*11*10*9*8*7 + 11*10*9*8*7*6 + 10*9*8*7*6*5 + 9*8*7*6*5*4 + 8*7*6*5*4*3 + 7*6*5*4*3*2 + 6*5*4*3*2*1) = (2 / (1*2*3*4*5*6)) * (7 * (12*11*10*9*8 + 11*10*9*8*6 + 10*9*8*6*5 + 9*8*6*5*4 + 8*6*5*4*3 + 6*5*4*3*2) + 1)

Производим сокращения, не вычисляя эти произведения:

2 * (7 * (132 + 66 + 30 + 12 + 4 + 1) + 1) = 2 * (7 * 245 + 1) = 2 * (1715 + 1) = 2 * 1716 = 3432.

Итого, 3432 различные башни.

Много

Строительство прекращается, когда набирается 7 кубиков одного цвета.
Значит, последний кубик всегда 7-ой для кубиков этого цвета, кубиков другого цвета всегда меньше - от 0 до 6.
Значит в башне этажей минимум 7, максимум 13
Для каждого из этих вариантов "этажности" 6 кубиков преобладающего цвета размещены на 6 местах ("этажах") из 6, 7, 8,...12
Сделать это можно столькими способами, каково число сочетаний по 6 из 6, 7, ..12, (ввиду невозможности нормально написать верхние и нижние индексы обозначим эти числа С (n, k) "из n по k")
Общее число вариантов есть сумма: С (6,6)+C(7,6)+C(8,6)+...+C(12,6)
Для башен с наибольшим числом кубиков другого цвета все рассуждения также справедливы, поэтому итоговое количество надо удвоить.
Ответ: Коля может построить 2(С (6,6)+C(7,6)+C(8,6)+...+C(12,6)) различных башен. Численное значение товарищ выше уже привел