Матпрак(очень сложные задачи)...

2. У мамы 10 фруктов: 2 яблока, 3 груши и 5 апельсинов. Каждый будний день в течение двух недель подряд мама выдаёт по одному фрукту сыну Егорке. Сколькими способами это может быть сделано?
3. На танцплощадке собрались 6 юношей и 6 девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?
4. Назовем словом любую последовательность букв. Сколько слов можно составить из букв слова 'АЛЕКСЕИАЛЕКСАНДРОВИЧ'
5. Сколькими способами можно расставить в ряд цифры от 1 до 9 так, что бы цифра 1 шла раньше цифры 2?
6. Сколько существует различных возможностей рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглый стол с 10 креслами так, чтобы они чередовались, если а) рассадки, получающиеся друг из друга поворотом вокруг центра стола – разные;б) рассадки, получающиеся друг из друга поворотом вокруг центра стола – одинаковые?
7. Известно, что aa + bb делится на 7. Докажите, что aa + bb делится на 49.
8. Докажите, что при любом натуральном n число n(n+1)(2n+1) кратно 6.
9. Числа 2146,1991и1805 дают одинаковые остатки при делении на натуральное число n. Найдите n.
10.p,p+10,p+14–простые числа. Найдите p.
11. Докажите, что число nn+n+9 не кратно 49 ни при каких натуральных n.
12. Натуральные числа a,b,c таковы, что a+b+c делится на 6. Докажите, что aaa+bbb+cсс
30. Можно ли раскрасить ребра куба в два цвета так, чтобы по ребрам каждого цвета можно было пройти из любой вершины в любую другую?
31. Каждая грань кубика разбита на 4 квадрата. Некоторые стороны этих квадратов раскрасили в красный цвет – всего 26 сторон. Докажите, что на поверхности кубика найдется замкнутая ломаная из красных отрезков.
32. а) В дереве нет вершин степени 2. Докажите, что количество листов больше половины общего количества вершин.б) Пусть d – наибольшая степень вершины дерева. Докажите, что в этом дереве есть хотя бы d листов.
33. Токийское метро связно: можно доехать (возможно с пересадками) от каждой станции до любой другой. Докажите, что можно так закрыть одну станцию (и запретить проезд сквозь нее), что метро останется связным.
34. В дереве с n вершинами степень каждой вершины равна 1 или k. Сколько листьев в таком дереве?
35. Пишется наудачу некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа равна 5?
36. Монету подбрасывают четыре раза.а) Какова вероятность, что выпадет ровно один орел? б) Какова вероятность, что выпадет хотя бы один орел? в) Какова вероятность, что выпадут два орла и две решки?
37. Три усталых ковбоя зашли в салун, и повесили свои шляпы на бизоний рог при входе. Когда глубокой ночью ковбои уходили, они были не в состоянии отличить одну шляпу от другой и поэтому разобрали три шляпы наугад. Найдите вероятность того, что никто из них не взял свою собственную шляпу.
38. Дана таблица 3×3 (как для игры в крестики-нолики). В четыре случайно выбранные ячейки случайным образом поставили четыре фишки. Найдите вероятность того, что среди этих четырёх фишек найдутся три, которые стоят в один ряд по вертикали, по горизонтали или по диагонали.
39. Имеется пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета – по три рубля и два билета – по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определите вероятность того,что:а) хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость;б) все три билета стоят семь рублей.
43. Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть полным квадратом?
44. Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что cdcdcdcd не делится на aabb.
45. Взяли число 8 в 2018 степени и вычислили у него сумму цифр, у полученного число снова вычислили сумму его цифр и т.д. до тех пор, пока не получилось однозначное число.Найдите это однозначное число.