Помогите с очень сложной задачей, ее не осилит даже АС.

Изложу ход рассуждения. Непосредственное решение не представляет особой трудности.

Для удобства назовём пару чисел "счастливой", если сумма чисел в паре даёт квадрат.

То утверждение, которое требуется доказать, подсказывает нам предыдущее утверждение, из которого последует искомое, а именно - что в любой последовательности чисел вида n, n+1, ..., 2n (где n > 100) найдутся три числа, такие, что любая пара из них "счастливая".

Далее решение прямолинейно: просто запишем требуемые условия. Пусть k, l, m - искомые числа, причём n ≤ k < l < m ≤ 2n.

Проверим, можно ли из их сумм получить три квадрата вида: a², (a+1)², (a+2)².

Не стану продолжать. Надеюсь, автор сможет сам закончить решение. В результате можно для произвольного n указать формулы нахождения трёх искомых чисел (хотя это не требуется).

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два случая:

1. Первый случай: Если среди чисел n, n+1, ..., 2n есть хотя бы одно квадратное число (т.е., число, которое можно представить в виде a^2, где a - натуральное число), то в одной из стопок обязательно будет две карточки с такими числами, так как если n и n+k являются квадратами, то разность (n+k) - n = k также будет квадратом. Таким образом, сумма чисел на этих карточках будет точным квадратом.

2. Второй случай: Если среди чисел n, n+1, ..., 2n нет квадратных чисел, то можно рассмотреть их остатки от деления на n. Эти остатки будут находиться в диапазоне от 0 до n-1. Так как у нас есть n+1 чисел и только n возможных остатков, по принципу Дирихле (принцип ящиков и шаров) как минимум два из них будут иметь одинаковый остаток при делении на n. Пусть это будут числа n+i и n+j, где i < j. Тогда их разность (n+j) - (n+i) = j - i будет кратна n, что означает, что сумма чисел на карточках с номерами n+i и n+j будет кратна n. И таким образом, она также будет точным квадратом.

Таким образом, в обоих случаях мы доказали, что хотя бы одна из двух стопок обязательно содержит две карточки, сумма чисел на которых является точным квадратом.