Очень сложный интеграл.Я не смог решить если что

5

Воспользуемся методом вычетов, который основан на теории вычетов комплексных функций.

Исследуем интеграл вдоль контура в замкнутой полуплоскости верхней половины. Применяя обобщенную формулу Коши для контура бесконечности, мы можем выразить данный интеграл через вычеты.

Рассмотрим интеграл
I = ∮[C] dz / (1 - i*z^3)^0.5,

где [C] - контур, охватывающий полуплоскость верхней половины.

Функция в интеграле имеет полюс первого порядка в точке z = (1/i)^(1/3), которая является комплексным трехкратным корнем из -i. Мы можем найти вычет в этой точке, вычислив предел
Res[z=(1/i)^(1/3)] = lim[(z-(1/i)^(1/3)) * 1 / (1 - i*z^3)^0.5],

когда z стремится к (1/i)^(1/3).

Так как функция имеет полюс первого порядка в этой точке, то вычет можно найти вычисляя этот предел. Заметим, что
(1 - i*z^3) = (1 - i*((1/i)^(1/3))^3) = 0,

и значение (1/i)^(1/3) можно вычислить:

(1/i)^(1/3) = (1/i)^(2/6) = (1/i^2)^(1/6) = i^(1/6) = exp(i*pi/6) = exp(i*pi/6 + 2*k*pi*i) = cos(pi/6 + 2*k*pi) + i * sin(pi/6 + 2*k*pi),

где k - целое число.

Таким образом, вычет может быть найден как:
Res[z=(1/i)^(1/3)] = lim[z->(1/i)^(1/3)] [(z - (1/i)^(1/3)) / (1 - i*z^3)^0.5] = lim[z->(1/i)^(1/3)] [(z - (1/i)^(1/3)) / ((z - (1/i)^(1/3))*(1 + i*(z^3/(1/i)^(1/3)^3)))^0.5]
= lim[z->(1/i)^(1/3)] [1 / (1 + i*(z^3/(1/i)^(1/3)^3))^0.5] = 1 / (1 + i))^0.5.

Интеграл можно вычислить как 2πi умножить на сумму вычетов. В данном случае, учитывая что контур закольцован внутри полуплоскости верхней половины, единственный полюс, который находится внутри контура, это z = (1/i)^(1/3). Таким образом, интеграл будет равен
I = 2πi * (1 / (1 + i))^0.5.

Теперь воспользуемся выражением:
(1 / (1 + i))^0.5 = (1 / (1 + i))^(1/2) = ((1 + i)/(1 + i))^0.5 = (1)^0.5 = 1.

Интеграл I = 2πi.

Таким образом, интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности равен 2πi.

Комплексный корень многозначная функция так-то

Блин, приснится же такое!!)))

5-6 или 7 или 8

.