Какие виды интегралов существуют и что они означают?

Неопределенный и определенный интегралы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неопределенный интеграл – это множество всех первообразных F\left( x \right)+C некоторой функции f\left( x \right):
\[\int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C\]
Например. \int{{{x}^{2}}dx}=\frac{{{x}^{3}}}{3}+C
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определённый интеграл от функции f\left( x \right) на отрезке \left[ a;\ b \right] – предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков:
\[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{\Delta {{x}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}}\]
Например. \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}\cdot \left( {{1}^{3}}-{{0}^{3}} \right)=\frac{1}{3}
Собственный и несобственный интегралы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Собственный интеграл – это определенный интеграл, для которого ограниченной является как подынтегральная функция, так и область интегрирования.
Например. \int\limits_{2}^{3}{\frac{dx}{x}}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Несобственный интеграл – определенный интеграл, для которого неограниченна либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе.
Например. \int\limits_{-2}^{3}{\frac{dx}{x}}

Пусть функция y=f\left( x \right) определена на полуоси \left[ a;\ +\infty \right) и интегрируема на любом отрезке \left[ a;\ b \right]\subset \left[ a;\ +\infty \right). Предел интеграла \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} при b\to +\infty называется несобственным интегралом первого рода функции y=f\left( x \right) от a до +\inftyи обозначается \int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}:

\[\int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}=\underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\]Например. \int\limits_{2}^{+\infty }{xdx}
Сходящийся и расходящийся интегралыОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если предел \int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}=\underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода \int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx} называется сходящимся.
Например. \int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}
В противном случае несобственный интеграл первого рода называется расходящимся. Например. \int\limits_{2}^{+\infty }{xdx}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть функция y=f\left( x \right) определена на полуинтервале \left( a;\ b \right] и интегрируема по любому отрезку \left[ a+\varepsilon ;\ b \right], где \varepsilon \in \left( 0;\ b-a \right). Пусть \underset{x\to a+0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty. Несобственным интегралом второго рода от функции y=f\left( x \right) по отрезку \left[ a;\ b \right] называется предел \underset{\varepsilon \to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a+\varepsilon }^{b}{f\left( x \right)dx}:
\[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{\varepsilon \to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a+\varepsilon }^{b}{f\left( x \right)dx}\]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если предел \underset{\varepsilon \to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a+\varepsilon }^{b}{f\left( x \right)dx} конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся.
Например. \int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{x}}}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.
Например. \int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x}}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Кратным или многократным интегралом называется множество интегралов, взятых от n>1 переменных: