Найдите все доброжелательные числа и докажите, что других не существует.

Так одно:
14641
Если убрать 1 слева или справа - получится число. меньшее 10000
Также нельзя переставить никакие два различных цифры и ничего нельзя приписать ни слева, ни справа , не нарушив условий

Чтобы найти все доброжелательные числа и доказать, что других не существует, сначала рассмотрим свойства, которые должны выполняться для доброжелательных чисел:

1. Среди любых двух идущих подряд цифр есть хотя бы одна четвёрка.
2. Среди любых трёх идущих подряд цифр есть хотя бы одна шестёрка.
3. Среди любых четырёх идущих подряд цифр есть хотя бы одна единица.

Заметим, что если среди трех идущих подряд цифр есть хотя бы одна шестерка, то среди любых двух идущих подряд цифр из этой тройки также будет четверка, иначе соседняя с шестеркой цифра должна быть единица, и вместе с шестеркой они образуют пару "16" или "61". Однако в этом случае, среди четырех идущих подряд цифр не будет единицы. Значит, в доброжелательных числах должна быть последовательность цифр "46" или "64".

Теперь рассмотрим случай, когда среди четырех идущих подряд цифр есть хотя бы одна единица. Поскольку мы уже знаем, что в доброжелательных числах должна быть последовательность цифр "46" или "64", то единица может быть расположена только до или после этой пары. Иначе, если единица будет находиться между "4" и "6", мы не сможем удовлетворить условию о наличии хотя бы одной шестерки среди любых трех идущих подряд цифр.

Таким образом, возможны только две комбинации:
1. "146" или "164"
2. "461" или "641"

Поскольку доброжелательные числа должны быть не меньше 10000, минимальное доброжелательное число состоит из двух повторяющихся блоков из комбинаций выше. Исходя из этого, получаем следующие доброжелательные числа:

1. 146146
2. 164164
3. 461461
4. 641641

Мы можем продолжать добавлять к этим числам блоки "146" или "164", "461" или "641" соответственно для получения новых доброжелательных чисел.

Доказательство от противного: предположим, что существует доброжелательное число, которое не упоминается в вышеуказанных комбинациях. Значит, оно не содержит ни одну из комбинаций "146", "164", "461" или "641".

Попробуем построить такое число. Поскольку число должно содержать хотя бы одну четверку среди каждых двух идущих подряд цифр и хотя бы одну шестерку среди каждых трех идущих подряд цифр, можно предположить, что это число начинается с "46" или "64".

Однако, согласно третьему условию, оно также должно содержать хотя бы одну единицу среди каждых четырех идущих подряд цифр. Если мы добавим единицу до или после "46" или "64", мы получим одну из комбинаций, указанных выше, которые уже были определены как доброжелательные числа.

Если мы добавим единицу между "4" и "6", то число будет иметь вид "416" или "614". В этом случае, для выполнения условия о наличии хотя бы одной шестерки среди любых трех идущих подряд цифр, следующей цифрой должна быть шестерка. Однако, такое число будет иметь вид "4166" или "6146", и в нем не будет единицы среди любых четырех идущих подряд цифр, что противоречит условиям доброжелательного числа.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и это доказывает, что других доброжелательных чисел, кроме указанных выше комбинаций, не существует.

10461, 100461, 1000461... 10^n + 461...
Их бесконечное количество.
А, тут в другом смысле
Я гений

Для начала заметим, что любое число, состоящее только из одной цифры, не может быть доброжелательным, потому что оно не содержит никаких подряд идущих цифр.

Пусть теперь у нас есть доброжелательное число k, и пусть оно имеет n цифр. Рассмотрим первые n-1 цифр этого числа. Если среди любых двух подряд идущих цифр нет четверок, то мы можем добавить к этим цифрам еще одну цифру (чтобы получилось число k), которая начинается с четверки и является наименьшей возможной. Полученное число является доброжелательным и имеет n+1 цифр, что противоречит минимальности числа k среди всех доброжелательных чисел с n или большим количеством цифр. Поэтому среди любых двух подряд идущих цифр в числе k есть хотя бы одна четверка.

Аналогично можно доказать, что среди любых трех подряд идущих цифр в числе k есть хотя бы одна шестерка, а среди любых четырех подряд идущих цифр есть хотя бы одна единица.

Теперь рассмотрим последнюю цифру числа k. Если эта цифра не равна 1, 4 или 6, то мы можем заменить эту цифру на наименьшую возможную цифру, которая является 1, 4 или 6 (в зависимости от того, какие цифры уже есть в конце числа k), и получить новое доброжелательное число, которое меньше числа k. Это противоречит минимальности числа k среди всех доброжелательных чисел. Поэтому последняя цифра числа k должна быть 1, 4 или 6.

Итак, мы доказали, что любое доброжелательное число либо имеет одну цифру и не существует, либо оканчивается на 1, 4 или 6 и содержит подряд идущие цифры 4, 6 и 1 в любой комбинации. Обратно, легко проверить, что любое число, удовлетворяющее этим условиям, является доброжелательным. Например, 14641, 614166, 4614141 и т.д. - все они являются доброжелательными.

Таким образом, мы нашли все доброжелательные числа и доказали, что других не существует.