Как доказать , что разность кубов двух последовательных чисел образует простое число?

Эээ...

 (x+1)³ - x³ = 3x² + 3x + 1 

На 2 не делится (у x² и x одинаковый модуль).
На 3 не делится.
А почему бы ему на 5 не делиться или на 7?

Вот для x = 5 это будет 91 = 13 × 7 - ни разу не простое.
Для x = 7 это будет 169 = 13², тоже составное.

Взять 2 сложных числа, например 8 и 9 возвести каждое в куб, вычесть меньшее из большего и посмотреть в таблице простых чисел, является ли результат простым числом.

судя по ответам,это неверно

Довольно таки просто сконструировать число, на которое будет делиться такая разность.
Действительно, как уже выше установлено
(х+1)³-x³=3x²+3x+1=3x(x+1)+1
Пусть x=mn+k, k<n то есть х≡k(mod n)
Тогда ((х+1)³-x³)(mod n)≡(3x(x+1)+1)(mod n)≡(3k(k+1)+1)(mod n)
Подставляя вместо k произвольное число, ну например 5 , получаем
(3*5(5+1)+1)=91 и достаточно выбрать в качестве n число 91 (соответственно, в качестве х выбрать число вида 91m+5), чтобы ваша разность делилась на 91

6^3 - 5^3 должно делиться на 7, проверь.

Ну, просто минимальным возможным простым делителем у разности кубов двух последовательных чисел является простое число 7, и, если
(a + 1)^3 - a^2 = 7n, то a при делении на 7 дает остаток 1 или 5, поэтому ты и устал подбирать контрпримеры.

(a + 1)^3 - a^3 = (a+1)^2 + a*(a + 1) + (a + 1)^2 = 3a^2 + 3a + 1, замучаешься это обнулять по простому модулю.