Докажите, что около куба можно описать сферу, в куб можно вписать сферу

Диагонали куба равны =>
половины диагоналей куба также равны =>
расстояния от точки пересечения диагоналей куба (иначе - центра куба) до вершин куба равны =>
они являются радиусами описанной сферы

Доказательство того, что около куба можно описать сферу и в куб можно вписать сферу, можно провести следующим образом:

Около куба можно описать сферу:

Предположим, у нас есть куб со стороной a. Чтобы описать около этого куба сферу, нужно найти радиус сферы, который будет равен половине длины диагонали куба. Диагональ куба может быть найдена с использованием теоремы Пифагора. Для простоты предположим, что длина стороны куба a=1 (это не меняет общности рассуждений):

Длина диагонали куба = √(a^2 + a^2 + a^2) = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3

Половина длины диагонали = √3 / 2

Таким образом, радиус описанной около куба сферы равен √3 / 2. Такая сфера будет полностью охватывать куб, и ее центр будет находиться в середине диагонали куба.

В куб можно вписать сферу:

Предположим, у нас есть куб со стороной a. Чтобы вписать в этот куб сферу, нужно найти радиус сферы, который будет равен половине длины стороны куба. Радиус вписанной сферы будет равен половине длины диагонали куба, так как диагональ куба проходит через его центр.

Длина диагонали куба = √(a^2 + a^2 + a^2) = √3a

Половина длины диагонали = √3a / 2

Таким образом, радиус вписанной в куб сферы равен √3a / 2. Такая сфера будет полностью помещаться внутри куба, и ее центр будет совпадать с центром куба.

Таким образом, около куба можно описать сферу, радиус которой равен половине длины диагонали куба, и в куб можно вписать сферу, радиус которой равен половине длины стороны куба.