Доказать что целый x получается только при k = -2 и k = -10

Строго говоря, доказать требуемое утверждение невозможно.

Причина проста до невозможности: существует ещё одно значение k, при котором выражение (8k² – 25)/(3k+5) целое, k = 0.

Нифига себе какой же бред вам отвечают.
попробую исправить ситуацию смотрите ка равно -2 значит у вас знаменатель -1 то есть по сути мы ни на что не делим. Большая вероятность того что у нас будет целое число точнее оно и будет целое число. Если ка равно минус 10 у вас знаменатель -25 считайте что 25. Как раз та хреновинка которая вычитается из числителя там тоже как-то завязаться можно.

[ChatGPT]

Для того, чтобы доказать, что целый x получается только при k = -2 и k = -10, мы должны показать, что для любого другого значения k выражение (8k^2 - 25) / (3k + 5) не будет целым числом.

Предположим, что существует такое целое число x, что x = (8k^2 - 25) / (3k + 5) для какого-то целого числа k, отличного от -2 и -10. Мы можем переписать это уравнение в виде:

8k^2 - 25 = x(3k + 5)

Заметим, что левая часть уравнения 8k^2 - 25 является нечётным числом, так как 8k^2 - 25 = 8k^2 - 5^2 = (2k)^2 - 5^2 = (2k - 5)(2k + 5), и (2k - 5) и (2k + 5) оба являются нечётными, так как k является целым числом.

В то же время, правая часть x(3k + 5) всегда будет четной, так как один из множителей является четным (x), а другой является нечётным (3k + 5). Таким образом, невозможно найти целое x, удовлетворяющее уравнению 8k^2 - 25 = x(3k + 5), за исключением случаев, когда k = -2 или k = -10, когда правая часть уравнения принимает значение -1.

Таким образом, мы доказали, что целый x получается только при k = -2 и k = -10, а для любого другого значения k выражение (8k^2 - 25) / (3k + 5) не будет целым числом.


========UPDATE=========


[Bing]
Давайте решить это уравнение вместе. Если x является целым числом, то (8k^2 - 25)/(3k+5) должно быть целым числом. Это означает, что (8k^2 - 25) должно быть кратным (3k+5). Мы можем использовать деление с остатком для того чтобы найти остаток от деления (8k^2 - 25) на (3k+5).

(8k^2 - 25) = (3k+5)(2k) + (3k-50)

Остаток равен (3k-50). Чтобы он был равен нулю, k должно быть равно -50/3. Однако k является целым числом и не может быть равным -50/3.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда знаменатель равен нулю: 3k + 5 = 0. Это дает нам k = -5/3. Опять же k является целым числом и не может быть равным -5/3.

Таким образом, нет таких значений k при которых x является целым числом.

Пусть k - целое число. Тогда, чтобы x было целым, должно выполняться условие:

$$\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6} - \frac{(k-1)k(k+1)}{6} \in \mathbb{Z}.$$

Приведем это выражение к общему знаменателю и сократим:

$$\frac{(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)}{6} = \frac{6k+6}{6} = k+1.$$

Таким образом, для того чтобы x было целым, необходимо и достаточно, чтобы k+1 было целым числом. Это выполняется только при k=-2 и k=-10. При других значениях k выражение k+1 не является целым, и x не будет целым числом. Таким образом, утверждение доказано.