Помогите доказать равенство (с обоснованием)

1 .Существует 1 (единица) - единственное натуральное число, которое не следует ни за каким другим.

2. Для каждого натурального числа а существует следующее за ним (определяется т.н. "функция следования S(x)") число а' при том единственное. Это, во-первых, значит, что число натуральных чисел бесконечно, а второе - что между последовательными натуральными числами нет каких-то других.

3. Аксиома индукции: если какое-либо предположение доказано для 1, и если из допущения, что оно верно для n следует, что оно верно для n+1, то предположение верно для всех натуральных чисел.

В аксиоматике Пеано определены свойства сложения и умножения:

(а + b)' = a + b' (например, (2 + 3)' = 2 + 3' = 2+4 = 6).
a' = a + 1 (например, 3' = 3 + 1 = 4).
a x b' = (a x b) + a (например, 3 х 4' = 3 х 4 + 3 = 15).
a x 1 = a.
Вооружившись знаниями аксиом и правил умножения/сложения можно перейти к доказательству. Прежде всего надо понять, что такое 2 и что такое 4. Вспоминаем про функцию следования. Очевидно, что:

S(1) = 2, тогда S(2) = 3, S(3) = 4 или

2 = 1' и 4 = 1'''

Теперь докажем, что дважды два - это два плюс два. Итак, 2 = 1', тогда:

1' x 1' = (1' x 1) + 1' (свойство 3)

1' x 1 = 1' (свойство 4), значит 1' x 1' = 1' + 1'

Осталось теперь доказать, что 2 + 2 равняется четырем:

1' + 1' = (1' + 1 ) ' (свойство 1 в обратную сторону)

1' + 1 = (1')' = 1'' (свойство 2), значит 1' + 1' = (1'')' = 1''' = 4

Вот, собственно, и всё доказательство.

У меня есть несколько вопросов по поводу оплаты за товар и не только в понедельник в первой половине дня.