Кто докажет, что между двумя различными действительными числами заключено хотя бы одно рациональное число?

Моя мотемотичка.

Использую определение действительных числе через десятичные дроби
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Конструктивные_способы_определения_вещественного_числа#Теория_бесконечных_десятичных_дробей
Любое действительно число представило в виде бесконечной непереодической десятичной дроби. Рассмотрим 2 действительных числа в общем виде:
1. ±(a1a2...ak.a[k+1]a[k+2]...)
2. ±(b1b2...bn.b[n+1]b[n+2]... )
a1,a2,a3... и b1,b2,b3... -натуральные от 0 до 9
Если эти числа имеют разные знаки, то между ним находится рациональное число 0.
Если оба положительные, то
1) если имеют разное число знаков до точки (k≠n), то
1а) если меньше первое, то между ними находится целое (а значит и рациональное) число
(a1a2...ak) + 1
1б) если меньше второе, то между ними находится целое число
(b1b2...bn) + 1
2) если имеют одинаковое число знаков до точки (k=n), то сравнить их поразрядно слева направо и найти первый отличающийся разряд (обозначить его номер q).
Между ними будет лежать число
a1...aka[k+1]...a[q-1]min(aq,bq)99999...,
бесконечное периодическое, что значит что оно рациональное.
(точку ставит в зависимости от того q<k или нет, сори уж слишком долго подробно расписывать)
Например между 123.45668 и 123.45678 находится 123.45699999
Между 1234.567, 1244.566 - 12min(3,4)9.999 = 1239.99999
Если оба отрицательные, то все определяется аналогично.

пусть даны два числа a и b, a>b. a>b значит что нижний класс А сечения определяющего а включает нижний класс B для числа b, не совпадая с ним. поэтому в A\B найдётся рациональное r, не принадлежащее B и следовательно оно принадлежит верхнему классу B'. тогда для него выполнено a>r≥b. Так как А нижний класс, то в нём нет наибольшего рационального числа, значит в случае надобности можно увеличить r и исключить равенство

а < (a+b)/2 < b