Какое определение понятия действительного числа вам больше всего нравится ?

Я бы сказал, что действительное число - это число a вида:

a = a0 + a1*10^-1 + a2*10^-2 + a3*10^-3 + ...,
где a0 - целое число, a1, a2, a3, ... - целые числа от 0 до 9, за исключением случая, когда все an, начиная с какого-то номера, равны 9.

Иначе говоря, это сумма ряда a0 + Σ от n = 1 до ∞, под знаком суммы: a(n)*10^-n.
В силу аксиомы непрерывности последовательность частичных сумм этого ряда (рациональные приближения действительного числа по недостатку) имеет предел, так как возрастает (как соответствующая ряду с неотрицательными членами) и ограничена сверху (например, числом a0 + 1).

Так мы определяем действительное число через уже знакомые нам целые числа, а также рациональные числа (степени десятки с отрицательными целыми показателями).

Число a0 называется целой частью числа (ближайшим левым целым), a1, a2, a3, ... - его первым, вторым, третьим и т.д. десятичными знаками.
Если считать, что запрещены случаи, когда в последовательности десятичных знаков, начиная с какого-то, идут одни девятки, то получится, что каждому действительному числу ставится в соответствие совокупность целого числа и числовой последовательности, все члены которой могут принимать только значения 0; 1; 2; ...; 9, и притом единственная. Обратно, каждой такой совокупности соответствует одно и только одно действительное число.

Если все десятичные знаки числа - нули, число отождествляется с целым. Если в последовательности десятичных знаков какая-то комбинация, начиная с какого-то момента, повторяется, число отождествляется с рациональным.

Правда, тут есть загвоздка, связанная с отрицательными числами. По этому определению выходит, что целой частью отрицательного числа является отрицательное число, модуль которого на 1 больше модуля числа, стоящего перед запятой в его десятичной записи (например, [-4,011976...] = -5), а десятичные знаки - это цифры, дополняющие до 9 те соответствующие цифры, которые стоят в записи этого числа после запятой.

Тогда мы можем сначала дать такое определение для неотрицательных чисел, а множество действительных чисел образовать из таких чисел и противоположных им чисел (т.е. таких, которые в сумме с данными дают 0).

На мой взгляд, такое определение самое красивое.

Этот философский срач закончился около 100 лет назад.

У Дедекинда отличное конструктивное определение, а у Вейерштрасса (через теорию десятичных или k-ичных дробей) - конструктивно-интуиционистское, адаптированное под землян.

Берите любое из них, чтоб доказать, что существует единственное (с точностью до изоморфизма) линейно упорядоченное непрерывное поле, содержащее в кач-ве подполя Q, и дело в шляпе.

Далее детали построения модели действительного числа один фиг принципиально не используются, используется аксиоматическое определение через непрерывное линейно упорядоченное поле.