Докажите что число 517 делится на 11

517 =440+77 каждое слагаемое делится на 11

Пусть многозначное число N имеет цифру единиц а, цифру десятков b, цифру сотен с, цифру тысяч d и т. д., т. е.

N = а + 10b + 100с + 1000d + .= a + 10 (b + 10c + 100d + .),
где многоточие означает сумму дальнейших разрядов. Вычтем из N число 11(b + 10с + 100d + .), кратное одиннадцати. Тогда полученная разность, равная, как легко видеть,

а - b - 10(c + 10d + .),
будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Прибавив к этой разности число ll(c + 10d + .), кратное одиннадцати, мы получим число

a - b + c + 10(d + .).
также имеющее тот же остаток от деления на 11, что и число N. Вычтем из него число 11(d + .), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы получим число

a - b + c - d + .= (а + с + .) - (b + d + .),
имеющее тот же остаток от деления на 11, что и исходное число N.

Отсюда вытекает следующий признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае наше число не делится без остатка на 11.

В вашем случае – 517: 5+7-1=12-1=11, то есть – 517 действительно делится на 11, что и требовалось доказать.