Существует ли всюду плотное множество на прямой такое, что расстояние между любыми двумя его точками иррационально?

Пусть точка x из искомого множества. Тогда считаем ли мы расстоянием между точками множества число |x - x| = 0, то есть расстояние между x и x? Если да (точки-то в вопросе «любые из нашего множества»), то ответ очевидно отрицательный, даже без требования всюду плотности, потому что 0 — рациональное число.

Если в вопросе имелось в виду «между любыми различными точками», то он уже становится более интересным. Тогда нам точно не годится S = ℚ × {√2} (где умножение понимается в смысле Минковского)?
Множество S = ℚ × {√2} очевидно всюду плотно (потому что любая окрестность вещественного числа x/√2 изобилует рациональными числами, поэтому и любая окрестность x изобилует числами из S).
Теперь про расстояния. S состоит из чисел вида m√2 / n, где m — целое, а n — натуральное. Стало быть, модуль разности чисел из S имеет вид
|m_1 / n_1 - m_2 / n_2| √2 — а это очевидно иррациональное число при всех не совпадающих аргументах.

Это если вы имели в виду стандартное для ℝ расстояние d(x, y) = |x - y|. Если вы как-то иначе метризуете ℝ, основываясь на этой стандартной метрике, то, мне кажется, даже само ℚ может стать ответом на ваш вопрос. Опять же, смотря в каком конкретно метрическом пространстве мы работаем, если оно необязательно является стандартным.

У меня голова заболела от этих слов.
Правильное- это география! Речки, моря, курорты...
Https://m.youtube.com/watch?v=qld4Xjh6Zo0

Например, множество чисел вида e·x, где х -положительные алгебраические числа.
Это множество всюду плотно: для любых таких чисел x>y число 0.5·(x+y) в силу полевой структуры множества также является алгебраическим числом и e·y<e·0.5·(x+y)<e·x
Разность (расстояние) e·x-e·y=e·(x-y) , а число e·(x-y) трансцендентно, значит и иррационально