Точки пересечения парабол и прямых

Таких формул в учебной литературе нет, потому что они громоздкие, но если очень хочется, то можно вывести. Например, две параболы: y = ax^2 + bx + c и
y = Аx^2 + Вx + С. В точках пересечения "игреки" должны быть равны =>
(А - a)x^2 + (В - b)x + (С - c) = 0 => D = (B - b)^2 - 4(A - a)(C - c) =>
1) если D > 0, то x1,2 = [b - B ± √D]/[2(A - a) => y1,2 = ... - находим подстановкой (две точки пересечения);
2) если D = 0, то x1 = х2 = [b - B]/[2(A - a) => y = ... - находим подстановкой (одна точка пересечения);
3) если D < 0, то точек пересечения нет.
Кроме того,
4) A = a, но B ≠ b => x = (c - C)/(B - b) - одна точка пересечения;
5) A = a, B = b, но С ≠ с => пересечений нет;
6) A = a, B = b, С = с - параболы совпали.
Вот так!
Кстати, для пересечения двух прямых тоже не все случаи исследованы.

Система алгебраических ур-ний
p1(х1, х2, ..., xn) = 0
p2(x1, x2, ..., xn) = 0
задает в общем случае алгебраическое многообразие порядка deg(p1)*deg(p2).

Вот и ломайте голову, как найти на плоскости точку пересечения двух черт знает как расположенных кривых второго порядка - в общем случае эта задача должна сводиться к решению ур-ния 4-й степени.

Требовать параллельность осей парабол скучно, искать точки пересечения прямой и параболы - скучно. Ограничтесь параболами с непараллельными осями.

Начинайте ломать голову)

Оффтоп. Существуют ли пространственные алгебраические кривые простого порядка?