Домашние задания: Математика

На окружности выбирают произвольно две точки. Какое матожидание расстояния между ними?

Расстояние по прямой, а не по дуге.

И подвопрос: каким будет матожидание расстояния, если бросить две точки не на окружность, а на сферу? У меня есть догадка, что для сферы будет тот же ответ, что и для окружности, потому что две любые точки на сфере так же лежат и на окружности с тем же радиусом, что и у сферы. Но что-то сомневаюсь, что мой ход мысли правилен.
Юлия Байшева
Юлия Байшева
89 359
На окружности введи полярные координаты, а на сфере - сферические. Радиусы и там и там постоянны. На окружности расстояние вырази через угол "фи", на сфере - через "фи" и "тета". Дальше считай, что та и другая точка распределены равномерно, соответственно, на отрезке длины 2пR, и в прямоугольнике. И надо ещё вычислить плотности распределения расстояния... В общем, как-то так, но, возможно, я ошибаюсь!
Рудольф Нуриев
Рудольф Нуриев
61 180
Лучший ответ
Катерина Корекова Не, всё норм :)
Зиннур Гафиатуллин Как же равномерно, если распределение пси более плотно нв экваторе?
Зиннур Гафиатуллин То есть не пси, в тета.
1. Насчет равномерного распределения "фи" и "тета" в случае сферы не уверен.

2. "У меня есть догадка, что для сферы будет тот же ответ, что и для окружности"
А у меня такой догадки нет. Вместо окружности я бы рассматривал кожуру (как поверхность) от тонкой дольки апельсина, отрезанной от апельсина "от полюса и до полюса". Ширину кожуры на заданной географической широте посчитать сумеете.

Вам стопудово нужно искать M(d), а не, например, M(d^2)?
Для сферы, кстати, M(d^-2) = R^-2, что неплохо известно из обобщения ЗВТ для сферически симметричных тел.

Тупой численный метод для очень грубой оценки мат. ожидания в n-мерном пространстве нужен?
Александр Матвеев
Александр Матвеев
34 449
Александр Матвеев На коленке - генерируете равномерное распределение в описанном вокруг единичного шара n-мерном кубе, точки вне шара из выборки удаляете, получаете равномерное распределение векторов в шаре.
Нормируете векторы - получаете на сфере.

Ну и по Монте-Карло.... Итераций, конечно, много, а точность низковата, но для грубой оценки и для проверки точных выкладок сойдет неплохо.
Александр Матвеев А вообще, подозреваю, M(d^2) = 2R^2 при любой размерности. Только тут нужно свойства "дисперсии" для независимых случайных векторов вспоминать - тут, видимо, скалярная ковариационная матрица вылезет, теорвер вспоминать не хочется.

При этом R <= M(d) <= sqrt(2)R
И, очевидно, нижняя оценка достигается в R^1 и при стремлении размерности к бесконечности получаете верхнюю. Но некомпактные шары в гильбертовом пространстве я рассматривать тоже не хочу....
Serj Kashtanov Подождите, разве в данной задаче не будут две случайные величины? Все-таки случайным образом выбирают 2 точки, и каждой точке будет соответствовать одна.
Serj Kashtanov И придется считать мат. ожидание для функции 2х переменны.
Катерина Корекова Ее несложно переписать в терминах гамма-функции
Все мои мысли на самом деле под ответом Тадасаны, там и объяснения и решения. Я чуть перепишу и компактно запишу это тут:

Сделаем это для окружности {(x,y) | x^2+y^2=1}, которая имеет радиус 1. Выберем точки на окружности одну за другой. Без потери общности, мы можем предположить, что (0,0) наша первая выбранная точка.
Теперь пусть вторая точка будет (cosα, sinα), где α имеет равномерное распределение на [0,π]. Тогда расстояние равно 2sin1/2α, и мы находим математическое ожидание как: (смотрим рисунок)
Если круг имеет радиус r, то его нужно умножить на r, чтобы мы нашли (4r)/π. Это для единичной окружности, что же для сферы?

Параметризация сферы: z=cos(тета), x=sin(тета) cos(ф), y=sin(тета) sin(ф). В качестве фиксированной точки берем (0,0,1). Якобиан sin(тета), взял чуть нестандартную параметризацию относительно тета, чтобы потом не возиться с штуками типа sin(п/4-тета/2). В норме при параметризации сферы косинус и синус по тета меняются местами, но пофиг, все равно очевидно. (смотрим 2ую картинку)

И для случая n-пространств (смотрим 3ью картинку), имеем:
Для 4-мерного 64/(15п), а для 5-мерного 48/35 например.
Наташа Молоснова
Наташа Молоснова
12 249
Александр Матвеев Прикол в том, что при размерности пространства чуть меньше 20 мой тупой метод Монте-Карло уже не работает.
Надо как-то хитро равномерное распределение на сфере генерировать. Целясь в куб, мы почти никогда не попадаем во вписанный в него шар, вероятность попасть в шар убывает экспоненциально с ростом размерности

Я задно и задумался, а как лучше всего равномерное распределение на сфере генерировать при размерности пространства в несколько десятков.

Раньше об этом не думал никогда.

Похожие вопросы