Господа математики,помогите, задание для богоизбранных и исключительных.

Логика решения может быть такая: первое уравнение позволяет найти xy с точностью до множителя по типу пk, где k — целое число. Поэтому сначала поймём, какие xy нам вообще гипотетически могут подойти. Для этого сложим последнее неравенство и предпоследнее равенство:

x²y² - y² + 1 + 1/x² + y² ≤ 6
x²y² + 1/x² ≤ 5

Поскольку 1/x² ≥ 0, то отсюда следует, что как минимум x²y² ≤ 5, а тогда уж точно |xy| ≤ √5. И этого нам уже хватит, чтобы определиться с теми k, которые нам годятся из всех серий решений первого уравнения.

Теперь решаем первое уравнение относительно xy. Применяя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, сводим уравнение к однородному. Поскольку очевидно cos(xy) ≠ 0, то делим на него и получаем квадратное уравнение относительно тангенса, откуда по теореме Виета очевидно имеем (ход решения — на фото, причём, возможно, свести к однородному можно было и быстрее, но я делаю очень подробно):

xy = -п/4
xy = -п/3
xy = 2п/3

Следующие корни (плюс/минус пи) будут по модулю больше √5 (достаточны оценки 3.1 < п < 3.2 и √5 > 2.2), так что далее рассматриваем только три выбранных выше случая (случай xy = 2п/3 сейчас тоже отвалится).

Первый кандидат на решение — случай xy = 2п/3, тогда
y² = 1 + x²y² = 1 + 4п²/9 > 5 (так как п > 3)
1/x² = (1 + 4п²/9) / 4п²/9 = 1 + 1/(4п²/9) > 1
Получается, третье неравенство не выполнено, случай xy = 2п/3 не годится.

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том, что остальные корни подходят, так что имеем:

1 решение — (-п/(4√(1 + п²/16)), √(1 + п²/16) )
2 решение — (п/(4√(1 + п²/16)), -√(1 + п²/16) )
3 решение — (-п/(3√(1 + п²/9)), √(1 + п²/9) )
4 решение — (п/(3√(1 + п²/9)), -√(1 + п²/9) )