Высшая математика! Помогите решить, пожалуйста!!! Очень нужно объяснение! ????

Характеристическое уравнение λ²+9=0, его корни λ=±3i. Следовательно двухпараметрическим семейством решений исходного ОДУ является у=α•sin3x+β•cos3x.
Продифференцируем решение:
y'=3α•cos3x-3β•sin3x.
Подставляем в решение и его производную начальные условия:
α•sin3π+β•cos3π=0
3α•cos3π-3β•sin3π=1.
Получилась система двух линейных алгебраических уравнений относительно α и β:
0•α-1•β=0
-3α-0•β=1
Эту систему даже к треугольному виду приводить не надо, её решение видно сразу: α=-⅓, β=0. К тому же здесь можно обойтись вообще без системы и её решения, но всё равно она будет неявно присутствовать, так что я решила её вы́писать явно.
Решением задачи Коши будет функция
y=-⅓•sin3x.
Проверка:
y(π)=0, y'(π)=-3•⅓•cos3π=1
y''=3sin3x, y''+9y=3sin3x-3sin3x=0. Всё верно, проверка прошла удачно. А все подробные объяснения (например, откуда берётся характеристическое уравнение и почему при чисто мнимых корнях характеристического уравнения решением должны быть линейные комбинации синусов и косинусов) -в учебниках...

Характеристическое уравнение λ^2 + 9 = 0 имеет корни 3i и -3i. Значит, общим решением будет функция y = C1*sin3x + C2*cos3x => y' = 3C1*cos3x - 3C2*sin3x =>
y(п) = -С2 = 0 => C2 = 0, y'(п) = -3C1 = 1 => C1 = -1/3 =>
Ответ: у = -(sin3x)/3.

Извини, оффтоп, не удержался.

Ты в девятом классе такие диффуры уже проходил, общее решение, пожет, и не выводил, но его знаешь!!))) Это ж уравнение гармонического осциллятора
y'' + w^2*y = 0
y = Asin(wt + phi) = Asin(3t + phi)
из нач. условий phi = pi, A = 1/3.
Давай вместо t вернем привычную букву x.

1/3(sin (3x + пи)) = по формулам приведения = -1/3 * sin(3x)

Делаем замену y=e^(kx); y'=k*e^(kx); y''=k*k*e^(kx)
Получаем характеристическое уравнение k^2+9=0, решаем уравнение.
k=3i или k=-3i
Записываем общее решение y=C1*e^(3i*x)+C2*e^(-3i*x); преобразуем в тригонометрическую форму комплексного числа.
y=C1*cos(3x)+C2*sin(3x)
y'=C1*(-3*sin(3x))+C2*(3*cos(3x))
подставляем точку пи.
0=С1*(-1)+С2*0; 1=С1*0+С2*(-3)
С1=0; C2=-1/3
y=-1/3*sin(3x)

Ну смотри! Тут всё легко! Надо...
Ах, да, я же тупой и считать не умею... Сорри...

y=32 x=17