Олимпиадная задача по математике

Этот противный и Петер Густав Лежён Дирихле друг друга не покусают. Дирихле - это такой чувак, принцип которого любят использовать в простеньких олимпиадных задачах.

5*6 = 30, 30 < 33.
Рах 33 богатыря плыли туда на 5 лодках, то имеется лодка, в которой плыло более шести богатырей. Хотите - от противного, хотите - по принципу Дирихле, хотите - просто так без обоснований, оно и так более-менее очевидно, проверяющий не покусает.

Если более шести этих богатырей усадить в 6 обратных лодок, то найдется лодка, в которую попадут более одного богатыря их этих более чем шести. По аналогичным соображениям.

Вот эти более одного богатыря и плыли туда и обратно вместе. А из более одного богатыря всегда можно выбрать двух.

От противного.

Можно так рассуждать: для каждой из 5 лодок, на которых плыли "туда" рассмотрим множество A(i) (i=1,2,..5) богатырей, плывших в этой лодке.
Аналогично для каждой из 6 лодок, на которых плыли "оттуда" рассмотрим множество B(j) (j=1,2,...6) богатырей. Назовем все множество богатырей из 33 человек D
Тогда объединение всех A(i) =D, равно как и объединение всех B(j)=D
Пересечение {A(1)⋃A(2)⋃...A(5)}⋂{B(1)⋃B(2)⋃...B(6)} с одной стороны равно также D, а с другой стороны это объединение всевозможных пересечений A(i)⋂B(j). Так как D у нас непустое, то все такие пересечения не могут быть пустыми. Рассмотрим какое либо непустое пересечение A(i)⋂B(j). Для простоты рассуждений можно положить, что оно одно такое, но вообще это необязательно.
Если это пересечение составляет 2 и более богатырей, т. е. элементов, то мы нашли искомую пару. Если оно состоит из одного элемента - пометим эту пару и повторим все рассуждения для тех же пар и множества D(1), состоящего из 32 человек и полученного из множества D мысленным исключением одного богатыря - того самого, что попал в описанное выше "пересечение". В помеченной паре других пересечений нет, значит они существуют в других парах. Таким образом мы либо найдем искомую пару, либо придем к противоречию, установив, что каждое пересечение вида A(i)⋂B(j) состоит ровно из одного человека, а поскольку всего таких пар 30, то и множество D состоит из 30 элементов, тогда как их 33.