Вычислить отношение объёмов.

r = х - радиус основания конуса
H = 4r = 4x - высота конуса
L = V(r^2 + H^2) = V(x^2 + (4x)^2) = V(17x^2) = x*V17 - образующая конуса
Vкон = 1/3 * pi * r^2 * H = 1/3 * pi * x^2 * 4x = 4/3 * pi * x^3 - объем конуса
Сечение конуса - равнобедренный треугольник с основанием
a = 2r = 2x - основание
b = L = xV17 - боковые стороны
S = 1/2 * a * H = 1/2 * 2x * 4x = 4x^2 - площадь треугольника

R = abc / 4S = ab^2 / 4S = 2x * (xV17)^2 / 4*4x^2 =
= 2x^3 * 17 / 16x^2 = (34/16)*x = (17/8)*x - радиус сферы
Vсф = 4/3 * pi * R^3 = 4/3 * pi * (17/8)^3 * x^3

V сф / V кон = 4/3 * pi * (17/8)^3 * x^3 / 4/3 * pi * x^3 =
= (17/8)^3

Подобие простаранства сохраняет отношение объемов и длин отрезков, поэтому достаточно решить задачу для единичной сферы в трехмерном арифметическом пространстве.

Вершину конуса поместим в точку x = 1, y = z = 0, рассмотрим сечение конуса и сферы плоскостью z = 0.
Для введенных координат получаем (уравнение окружности и теорему Пифагора для прикола забуду):
4sin(x) = 1- cos(x), где sin(x) - радиус основания конуса, 1-cos(x) - высота конуса.
Но ты ур-ние окружности напиши, это проще, без тригонометрии. А я это уравнение решу.

Сие уравнение "в лоб" решается перекидыванием синуса и косинуса налево и умножением обеих частей на такое число, чтоб сумма квадратов коэффициентов при синусе и косинусе равнялась 1. И тогда к левой части ты сможешь формулу суммы синуса применить.
Но коэффициенты здесь удачные, можно ничего не перекидывать, а просто заметить, что в правой части написано в точности 2sin^2(x/2) и тогда к левой сразу применить формулу синуса двойного угла.

Отсюда на промежутке (0, pi) получаем решение x/2 = arctg(4) , откуда
4 = t = tg(x/2) => sin(x) = 2t/(1 + t^2) = 8/17 радиус основания конуса, а высота-то вчетверо больше. Объем конуса тогда
(8/17)^3*4 * pi/3, а у единичного шара он 4pi/3

И отношение объемов (8/17)^3.

Оффтоп. 8, 15, 17 - пифагорова тройка, ты пощупай ее
в сфере радиуса 17 получаем высоту основания конуса = 8 и высоту конуса 17 + 15 = 32.
И в комменте я объясню, почему я развел весь этот бардак с тригонометрией.

У них нет отношений, они просто друзья