Почему [0/0] - это неопределенность, которая раскрывается правилом Лопиталя,

Формально, если применить правило Лопиталя к lim sin x / x при x -> 0, то получится следующее:
lim sin x / x = lim (sin x)' / x' = lim (cos x) / 1 = lim cos x = cos 0 = 1
Казалось бы всё в порядке, но всё дело в том, что формула для производной синуса: (sin x)' = cos x сама по себе доказывается через первый замечательный предел. Он там возникает, если попытаться взять производную синуса по определению (как предел отношения приращения функции к приращению аргумента).
Поэтому если применить к lim sin x / x правило Лопиталя, то получится доказательство первого замечательного предела через него же.
Поэтому так поступать нельзя. А нужно доказать первый замечательный предел отдельно, не используя правило Лопиталя.

"sin(x)/x=1 можно писать сразу, не применяя правило Лопиталя..." - ОШИБАЕШЬСЯ синус не равен своему аргументу (кроме х = 0, но на 0 делить нельзя). Поэтому,
lim(sinx/x) при х->0 надо вычислить и получить 1 (можно по правилу Лопиталя, но это приведет к порочному кругу).
Кроме того, выражение 0/0 не имеет никакого смысла!! Это просто символ, которым хотят сказать, что мы ищем предел отношения f(x)/g(x) при условии, что при x ->a f(x) и g(x) стремятся к нулю. НЕ БОЛЕЕ ТОГО!!!

Потому что это счмтается общеизвестным фактом, и не следует его все время заново вычислять. Кстати, тут важно понимать, что этот предел доказывается НЕ Лопиталем, так как тот факт, что производная синуса это косинус, следует из этого предела. Иначе будет порочный круг.

Жесть.. ни слова не понял

sin(x)/x - это Первый замечательный предел, т.е. по сути уже доказанная теорема, которая часто встречается при решении других задач. Поэтому разрешается записать =1 сразу.

Правило Лопиталя - лишь одна из множества возможностей для решения различных пределов. Даже если при непосредственной подстановке в выражение предела предельной точки "х" получаем неопределённость вида 0/0, его всё равно можно решить другим методом, например банально разложив на множители и сократив в числителе/знаменателе на выражение. Но в некоторых случаях конечно, это сделать очень затруднительно, тогда можно воспользоваться правилом Лопиталя как одной из возможностей.

0/0 это лишь общая форма. Можешь использовать правило Лопиталя и для sin(x)/x=1, хотя это обычно доказывается отдельно как пример