Олимпиада по математике

От противного, такие задачки легче задач 3 класса, просто я не русский литератор

Интеллект всегда бодр, свеж и молниеносно решает все задачи...найти такого даже взглядом не сложно

Всё правильно там было, это мне показалось. Возвращаю, но под другим ником

Для 4-х человек предлагаемое к доказательству утверждение, очевидно, верно. Предположим, что оно верно для некоторого k>4. Докажем, что оно верно и для k+1 человека. А допустим что это не так. Это значит, что ни один чел не знает всех остальных, т. е. для каждого пациента существует минимум один, которого он не знает. Возьмем пару таких стьюдентов, чтобы как то их различать, на одного наденем кепку, на другого шляпу.
Рассмотрим группу из k человек, куда не входит «шляпа». По предположению, найдется человек, который знает их всех.
Пусть это не «кепка». Нарядим его в панамку. Так как ни один из (k+1) не знает всех, то «панамка» не знает «шляпу». Теперь возьмем группу из k человек, куда не входит «кепка». Там тоже найдется чел, который знает их всех. Этот чел не может знать только «кепку», поэтому это не может быть «панамка». И это не может быть сам «шляпа», потому что тот «взаимно» не знает «панамку». Ему выдадим ермолку.
Рассмотрим 4-ку из этих «шляпы», «кепки», «панамки» и «ермолки».
«Панамка» знает «кепку» и «ермолку», но не знает «шляпу».
«Ермолка» знает «шляпу» и «панамку» , но не знает «кепку».
«Кепка» и «шляпа» друг друга не знают. «Кепка» может знать «ермолку» а может и не знать, «шляпа» может знать «панамку», но может и не знать, в любом случае каждый из них знает не более 2-х других.
Однако по условию, в каждой 4-ке кто то один должен знать троих.
Получили противоречие.
Следовательно, человеком в первой группе (см выше), который знает всех, может быть только сам «кепка». Тогда во второй группе человеком, знающим всех, может быть только сам «шляпа» (остальные все знают «кепку»).
Возьмем любого чувака (не «кепку» и не «шляпу»), наденем на него ушанку и будем подставлять по очереди всех оставшихся. В каждой такой 4-ке «ушанка» и любой вновь подставленный знают и «кепку» и «шляпу». Поскольку «ушанка» не может знать всех, то найдется стьюдент, с которым он не знаком, и в этой 4-ке опять нет человека, знакомого с 3-мя другими.
Вновь противоречие.
Таким образом по индукции утверждение доказано для всех k.