Сколько ничьих могло быть в этом турнире?

Пусть было n команд. Тогда всего было сыграно игр n(n - 1)/2 (к каждой из n команд мы можем добавить в пару любую из n оставшихся команд, но команды, отличающиеся только порядком следования мы посчитали дважды, следовательно, общий результат делим на 2). В каждой игре обе команды суммарно набрали либо 2 очка (в случае ничьи), либо 3 (когда одна команда выиграла, а другая проиграла). Следовательно, n команд суммарно могли набрать наименьшее количество очков n(n - 1)/2*2 = n(n - 1), а наибольшее n(n - 1):2*3 = 3n(n-1)/2. По условию они набрали 100 очков. Следовательно, имеем двойное неравенство:
n(n - 1) <= 100 <= 3n(n - 1)/2
2n(n - 1) <= 200 <= 3n(n - 1)
2n^2 - 2n <= 200 <= 3n^2 - 3n
Решаем эти неравенства как квадратные для натуральных n.
В обоих случаях соответствующие квадратные трёхчлены имеют по два корня разных знаков за счёт отрицательного свободного члена. В первом случае решение квадратного неравенства есть интервал между корнями, что при неотрицательности n равносильно неравенству, при котором n не превосходит положительного корня. Во втором - решение есть интервал вне корней, в нашем случае оно равносильно неравенству, когда n не меньше положительного корня. В обоих случаях в формуле перед корнем берём знак "+" и получаем:

n <= (1 + sqrt(401))/2, т.е. n <= 10
n >= (3 + sqrt(2409))/6, .т.е. n >= 9

Можно и методом перебора: перебирать натуральные n, пока оба неравенства не будут выполнены, т.е. пока 100 не попадёт в интервал от n(n - 1) до 3n(n - 1)/2.

Значит, команд могло быть 9 или 10. Следовательно, имеем 2 варианта:

1) Команд 9. Следовательно, игр было сыграно 9*8/2 = 36. Если бы во всех играх какая-то команда победила, то в сумме они бы набрали 36*3 = 108 очков. А они набрали 100. Значит, в 8 играх суммарно обе команды набрали на 1 очко меньше за счёт того, что они сыграли вничью. Следовательно, в этом случае было 8 ничьих.

2) Команд 10. Рассуждаем аналогично. Игр было 10*9/2 = 45. При всех играх без ничьих было бы 45*3 = 135 очков. Значит в этом варианте, было 35 ничьих.

Ответ: 8 ничьих или 35 ничьих.