Через сколько дней были выполнены все 3 заказа?

По-моему, задача при заданных условиях вообще неразрешима: число уравнений превышает число неизвестных. Иначе говоря, в тот момент, когда две бригады одновременно сделают свои заказы, третья ещё не успеет доделать свой.

Если за х обозначить число дней, которые работали бригады после смены состава (а не всего), то производительность одного рабочего обозначим за а. Производительность одного рабочего - это часть заказа, которую один рабочий может выполнить за один день (например, если рабочий может за день сделать половину заказа, то a = 1/2).

Тогда изначально производительность первой бригады равнялась 10a, второй - 13а, третьей - 8а. После того, как бригады поработали 5 дней, они выполнили объёмы заказа: 50а, 65а и 40а, соответственно.

Потом в первой бригаде стало 12 рабочих, во второй 9 и в третьей 10, их производительности стали равными 12а, 9а и 10а, соответственно. Т.к. заказы они выполнили одновременно, то потом работали ещё х дней. Итого, полный объём заказа первой бригады равен 50а + 12ах, второй 65а + 9ах, третьей 40а + 10ах. И каждый такой объём равен 1. Т.е. уравнения будут такими:

50а + 12ах = 1
65а + 9ах = 1
40а + 10ах = 1

Три уравнения, но неизвестных два.

Легко показать, что система в целом не имеет решений. В самом деле: приравнивая первые два объёма заказа, получаем: 50а + 12ах = 65а + 9ах, сокращаем на а и переносим то, что с х влево, то, что без х - вправо. Получаем 3х = 15, х = 5. Следовательно, бригады работали потом ещё 5 дней (итого 10).

За это время первая и вторая бригады выполнили объёмы заказа 110а, а третья - 90а, и если 110а - это весь целый заказ, то 90а - не весь. Следовательно, в тот момент, когда первые две бригады выполнили свои заказы, третья свой не доделала.
Можно предположить, что после этого первые две бригады стали отдыхать, а третья продолжала работать, и оставшиеся 20а заказа с производительностью 10а она доделала за 2 дня. В итоге все три заказа выполнены за 12 дней, но не одновременно.

Вот аналогичная задача: три велосипедиста стартовали одновременно из одной точки в одном направлении со скоростями 10 км/ч, 13 км/ч и 8 км/ч, соответственно. Проехав 5 часов, они изменили свои скорости до 12 км/ч, 9 км/ч и 8 км/ч, в итоге пришли к финишу одновременно. Опять же, сколько времени они ехали.
Если рассмотреть движение велосипедистов, начиная с момента времени 5 часов, то графики их движения описываются прямыми. Но три прямые не обязаны пересечься в одной точке.

Следовательно, в общем случае эта задача, как и данная, решения не имеет.