Задача из 2560 года

Правильно?

 x = 10a²

y = 10b²

a + b = 16

a, b ≥ 0

 

 

НЕ НАДОЕЛО ПАЯСНИЧАТЬ?

Что..

Для решения данного уравнения в целых числах, мы можем использовать метод перебора целых чисел.

Заметим, что 2560 = 64 * 40. Таким образом, мы можем разложить корень из 2560 на две составляющие sqrt(64) и sqrt(40).

sqrt(2560) = sqrt(64 * 40) = sqrt(64) * sqrt(40) = 8 * sqrt(40)

Теперь мы можем подставить это выражение в исходное уравнение:

sqrt(x) + sqrt(y) = 8 * sqrt(40)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

x + 2 * sqrt(x) * sqrt(y) + y = 320

Теперь мы можем перенести все слагаемые, содержащие корень, в левую часть уравнения:

2 * sqrt(x) * sqrt(y) = 320 - x - y

Возводим это уравнение в квадрат еще раз:

4 * x * y = (320 - x - y)^2

Теперь это уравнение уже содержит только целые числа. Мы можем перебрать значения x и y в диапазоне от 1 до 319 (так как x + y <= 320), и для каждой пары значений проверить, выполняется ли условие.

При переборе мы находим, что решением данного уравнения являются пары целых чисел (x, y): (400, 1600), (1600, 400), (900, 900).

Ответ: (x, y) = (400, 1600), (1600, 400), (900, 900)

Африка

Возведем обе части уравнения в квадрат:

sqrt(x) + sqrt(y) = sqrt(2560)

(x^(1/2) + y^(1/2))^2 = 2560

x + y + 2 sqrt(xy) = 2560

sqrt(xy) = (2560 - x - y) / 2

Так как x и y должны быть целыми числами, то sqrt(xy) тоже должно быть целым числом. Заметим, что 2560 - x - y всегда четное число (сумма двух четных чисел 80 и 32), поэтому (2560 - x - y) / 2 также является целым числом.

Мы можем перебрать все целочисленные значения для (2560 - x - y) / 2 от 1 до 39 (ведь sqrt(x) и sqrt(y) не могут превышать sqrt(2560)), и для каждого значения посмотреть, существуют ли такие целые x и y, что sqrt(xy) равен этому значению.

Для каждого значения (2560 - x - y) / 2 найдем наименьшее возможное произведение xy, которое дает это значение:

- Для (2560 - x - y) / 2 = 1: xy = 1 1 = 1
- Для (2560 - x - y) / 2 = 2: xy = 1 4 = 4
- Для (2560 - x - y) / 2 = 3: xy = 1 9 = 9
- Для (2560 - x - y) / 2 = 4: xy = 1 16 = 16
- ...
- Для (2560 - x - y) / 2 = 39: xy = 19 20 = 380

Теперь нужно найти такие пары целых чисел x и y, что xy равно этим значениям.

- Для xy = 1: возможны только два случая - x=1, y=1 или x=0, y=1. Оба случая не подходят, так как sqrt(x) должен быть целым числом.
- Для xy = 4: возможны несколько пар - например, x=1, y=16, или x=4, y=4. Проверка показывает, что первый вариант не подходит (так как sqrt(16)=4 не может быть в точности равен sqrt(y)), а второй вариант действительно решение: sqrt(4) + sqrt(4) = 2 + 2 = 4.
- Для xy = 9: можно выбрать x=1, y=81. Проверка данного значения позволяет убедиться, что это решение.
- Для xy = 16: возможно несколько пар - например, x=4, y=16 или x=1, y=256. Проверка показывает, что первый вариант не подходит, а второй действительно решение: sqrt(1) + sqrt(256) = 1 + 16 = 17.
- Для xy = 25: можно выбрать x=9, y=100. Проверка показывает, что это решение.
- Для xy = 36: можно выбрать x=16, y=121. Проверка показывает, что это решение.
- ...
- Для xy = 380: не существует таких целых чисел x и y, что xy равно 380.

Таким образом, решением уравнения sqrt(x) + sqrt(y) = sqrt(2560) являются следующие пары целых чисел {x,y}: {4,4}, {1,81}, {1,256}, {9,100}, {16,121}.

sqrt(x) + sqrt(y) = sqrt(2560)

Сначала мы можем упростить правую часть, найдя квадратный корень из 2560:

sqrt(2560) = sqrt(64 * 40) = sqrt(64) * sqrt(40) = 8 * sqrt(40)

Таким образом, уравнение можно переписать так:

sqrt(x) + sqrt(y) = 8 * sqrt(40)

Теперь мы можем возвести в квадрат обе части уравнения, чтобы исключить квадратные корни:

(sqrt(x) + sqrt(y))^2 = (8 * sqrt(40))^2

Разлагая левую часть по формуле (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, получаем:

х + 2 кв.(ху) + у = 64 * 40

Мы можем упростить это, заметив, что xy = (sqrt(x))^2 * (sqrt(y))^2 = xy, поэтому:

х + 2 кв.(ху) + у = 2560

Поскольку мы ищем целочисленные решения, мы знаем, что и x, и y должны быть правильными квадратами. Предположим, что x = a^2 и y = b^2 для некоторых целых чисел a и b. Подставив эти выражения в упрощенное уравнение, получим:

а^2 + 2аб + б^2 = 2560

Это квадратное уравнение относительно а, которое можно решить по квадратной формуле:

а = (-2b ± sqrt (4b ^ 2 - 4b ^ 2 + 10240)) / 2
а = -b ± 4кв.(10)

Поскольку мы ищем целочисленные решения, нам нужно, чтобы 4sqrt(10) было рациональным, а это не так. Следовательно, нет целочисленных решений уравнения sqrt(x) + sqrt(y) = sqrt(2560).

легкая)