13 задача из ЕГЭ, условие в прикреплённом файле

Дано: правильная треугольная призма ABCA1B1C1
AA1 = BB1 = CC1 = h
AB = AC = BC = a = h*√2
Сечение плоскостью A1BC; S(A1BC) = 120*√5
Смотрите рисунок слева. Сечение показано красным.
а) Доказать перпендикулярность каких-то там диагоналей я не смогу.
б) Найти расстояние от вершины А до плоскости сечения A1BC.
Расстояние от точки А до плоскости - это перпендикуляр из точки А на плоскость. То есть это расстояние от точки А до какой-то точки K на высоте A1M. Оно показано синей линией.
Так как ABC - равносторонний треугольник, то A1BC - равнобедренный.
A1B = A1C
Так как треугольник AA1B - прямоугольный, по теореме Пифагора
A1B^2 = AA1^2 + AB^2 = h^2 + (h*√2)^2 = h^2 + 2h^2 = 3h^2
A1B = A1C = h*√3
Точка M - середина BC.
AM - медиана, она же высота и биссектриса треугольника ABC.
AM = a*√3/2 = h*√2*√3/2 = h*√6/2
A1M - медиана, она же высота и биссектриса треугольника A1BC.
A1M^2 = A1B^2 - BM^2 = 3h^2 - h^2/2 = h^2*5/2
A1M = h*√5/√2
S(A1BC) = 1/2*BC*A1M = 1/2*(h*√2)*(h*√5/√2) = h^2*√5/2 = 120*√5
Отсюда получаем:
h^2 = 120*2 = 240
AA1 = h = √240 = √(4*4*15) = 4√15
Чтобы не загромождать рисунок, я отдельно справа нарисовал плоскость A1BC и отрезок AK, который перпендикулярен к A1M.
AM = h*√6/2 = 4√15*√6/2 = 2√(3*5*3*2) = 2*3√(5*2) = 6√10
A1M = h*√5/√2 = 4√15*√5/√2 = 4√(3*5*5)*√2/2 = 2*5*√3*√2 = 10√6
Найдем площадь треугольника AA1M из формулы Герона:
p = (AA1+AM+A1M)/2 = (4√15 + 6√10 + 10√6)/2 = 2√15 + 3√10 + 5√6
p - AA1 = 2√15 + 3√10 + 5√6 - 4√15 = 3√10 + 5√6 - 2√15
p - AM = 2√15 + 3√10 + 5√6 - 6√10 = 2√15 + 5√6 - 3√10
p - A1M = 2√15 + 3√10 + 5√6 - 10√6 = 2√15 + 3√10 - 5√6
S(AA1M) = √[p(p - AA1)(p - AM)(p - A1M)] =
= √[(2√15+3√10+5√6)(3√10+5√6-2√15)(2√15+5√6-3√10)(2√15+3√10-5√6)]
После умножения этих 4 скобок и приведения подобных получается:
S(AA1M) = √[(60√15 + 180)(60√15 - 180)] = √(60^2*15 - 180^2) = √21600 = 60√6
С другой стороны, площадь треугольника можно найти по формуле:
S(AA1M) = 1/2*A1M*AK (половина произведения основания на высоту)
Подставляем все известные величины:
60√6 = 1/2*10√6*AK
AK = 60*2/10 = 12
Ответ: 12

И что? Ну, задача № 13 из ЕГЭ. А что надо -то?

И какого ты ответа хочешь? Ну, сложная задача, сложная