Вопрос всем математикам!

Можем. От противного. Например, так, если по-детски:

Из нарушения монотонности перебором четырех точек доказывем, что найдутся x < y < z и отрезка: (f(y) - f(x)) * (f(y) - f(z)) > 0
(т.е. f(x) и f(z) отклоняются в одну сторону от f(y)),

после чего юзаем теорему о промежуточном значении Больцано-Коши и получаем противоречие с биективностью.

Да, я могу доказать, что непрерывная и биективная функция на отрезке [a; b] является монотонной на этом отрезке. Для этого можно использовать теорему Больцано-Коши о промежуточных значениях.

Теорема Больцано-Коши гласит, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то существует такое число c из этого отрезка, что f(c) = 0.

Теперь предположим, что функция f(x) непрерывна и биективна на отрезке [a; b], но не является монотонной. Тогда существуют точки x1 и x2 из этого отрезка такие, что x1 < x2, но f(x1) > f(x2). Поскольку функция биективна, то существует точка x3 из отрезка [a; b] такая, что f(x3) = (f(x1) + f(x2)) / 2. Если x3 лежит между x1 и x2, то мы получаем противоречие с теоремой Больцано-Коши. Если же x3 лежит за пределами отрезка [x1; x2], то мы можем выбрать другую пару точек x4 и x5 такие, что x4 < x5 и f(x4) > f(x5), и повторить рассуждение. Таким образом, мы приходим к выводу, что функция f(x) должна быть монотонной на отрезке [a; b].

Для доказательства монотонности непрерывной и биективной функции на отрезке [a; b] можно воспользоваться теоремой Дарбу. Согласно этой теореме, если функция непрерывна на отрезке [a; b] и принимает два разных значения f(a) и f(b), то она принимает все значения между f(a) и f(b). Таким образом, если непрерывная и биективная функция принимает два разных значения на отрезке [a; b], то она монотонна на этом отрезке.

По ощущениям интуитивное утверждение. Биективность дает то, что каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, что исключает наличие точек, в которых производная равна нулю, то есть экстремумов. Вкупе с непрерывностью, функции ничего не остается, как быть монотонной

Тут разве есть математики люди?Мне кажется шансов 0

На сайте Mathematics Stack Exchange я нашел вопрос, который очень похож на ваш: “Are monotonic and bijective functions the same?” (Монотонные и биективные функции одно и то же?). Один из ответов говорит, что это не так, и приводит примеры функций, которые монотонны, но не биективны, и наоборот. Однако, в конце ответа утверждается, что если функция непрерывна и биективна на интервале, то она обязательно строго монотонна на этом интервале. Доказательство этого факта не приводится, но можно предположить, что оно использует теорему о промежуточных значениях для непрерывных функций.
На том же сайте я нашел другой вопрос, который также касается вашей темы: “Continuous injective map is strictly monotonic” (Непрерывное инъективное отображение строго монотонно). В этом вопросе спрашивается, как доказать, что если функция непрерывна и инъективна на интервале, то она строго монотонна на этом интервале. Один из ответов дает доказательство по методу от противного, используя теорему о промежуточных значениях и свойство инъективности.
На сайте Wikipedia я нашел статью о монотонных функциях. В этой статье говорится, что монотонная функция - это функция между упорядоченными множествами, которая сохраняет или обращает данный порядок. Также говорится, что если функция строго монотонна на интервале или его подмножестве, то она инъективна на этом интервале или подмножестве. Обратное также верно: если функция инъективна на интервале или его подмножестве и имеет обратную функцию, то эта обратная функция строго монотонна на образе исходной функции.
Из этих результатов можно сделать вывод, что непрерывная и биективная на [a; b] функция действительно монотонна на [a; b], и для доказательства этого можно использовать теорему о промежуточных значениях для непрерывных функций и свойство инъективности для биективных функций

Доказываю, она монотонна