Если воинская часть хочет выселить меня из служебной квартиры, она подаст иск в военный суд, или в гражданский?

В вашем случае в "гражданский". И если в в/ч не дураки, то ответчиком в суде будете являться именно вы. Кроме того, я на их месте привлек бы в качестве третьих лиц с самостоятельными требованиями других военнослужащих данной в/ч, которые должны, но не могут занять эту квартиру, потому что вы там проживаете. Кроме того, есть риск попасть под "административку" за самоуправство, и на компенсацию морального вреда этим (этому) военнослужащим (-му) . Все, конечно же, зависит от обстоятельств и сообразительности представителя в/ч в суде. А вообще, судьи крайне неохотно берутся за рассмотрение таких дел, футболят заявителя по-максимуму - возвращают исковые заявления из-за малейшей мелочи, даже абсурдной. Так что вы в этой квартире еще поживете. А лучше ее освободить от греха подальше.

Если вы не военнослужащая, то в гражданский.

любое выселение - в гражданский суд!!!

в гражданский

Я так и не понял.. причем здесь суд.. . Вы на каком основании вообще живете в данной квартире? Вы здесь не написали множества интересных вещей, которые могут влиять на "скорость движения"....Суды решают спорные вопросы, а в Вашем случае какой здесь спор.. . Как я понимаю Вы даже бывшему военнослужащему никем не приходитесь, иначе бы написали, что мой муж или мой бывший муж.. . Человек с которым был заключен договор найма служебного жилья потерял связь с владельцем квартиры (МО РФ) и должен был её сдать владельцу.. . Но Вы-то здесь причем и на каком основании вообще там находитесь?
Что бы Вы лучше поняли ситуацию я сейчас приведу пример на более доступном уровне. Представьте, что у меня есть квартира и я её сдал человеку на срок один год. Человек прожил год и уехал в другой город, а в квартире осталась его любимая женщина, которая не захотела с ним ехать.. . И Вы что думаете, когда я Вас обнаружу в своей квартире, то пойду в суд что бы Вас выселять? Нет, я пойду в милицию и напишу заявление о преступлении. И тут же за Вами приду с милицией, а не судебными приставами.. . А вот в суд буду я подавать на Вас о возмещении морального вреда и материального. . за сломанный милицией замок (к примеру).