Каким способом можно получить позитроны без использования радио активных веществ ?

Каким-то макаром забраться в антимир...

Разными способами. Например облучить быстрыми электронами что-нибудь тяжёлое, вольфрам например.
В позитронном конвертере:



Конструктивно блок конверсии представляет собой две линзы - фокусирующую (1) и собирающую (2), между которыми находится панель (3) с конверторной планкой (4). Линзы (1) и (2) выполнены в виде катушек типа соленоида Биттера с внутренним диаметром 25 мм и наружным 45 мм. Число витков фокусирующей линзы - 23, собирающей - 3, толщина витков 4 мм. К крайним виткам обеих катушек припаяны дисковые выводы (7), к которым равномерно по окружности подводится ток питания - к фокусирующей линзе в шести точках, а к собирающей - в двенадцати. Подводы осуществляются малоиндуктивными коаксиальными кабелями (8). Внутри линзы (1) расположена трубка (11), соединенная с вакуумной полостью ЛУ; трубка (12), расположенная внутри линзы (2), соединена с вакуумной полостью синхротрона Б-4. Торцы обеих трубок вакуумноплотно закрыты титановой фольгой толщиной 50 микрон, между которыми и перемещается конвертор, находящийся в атмосфере. Оптимальная толщина вольфрамового конвертора 3.5 мм (1 радиационная единица) ; оптимальная энергия позитронов, захватываемых в синхротроне, 7 МэВ; число захватываемых позитронов при оптимальных условиях и отсутствии потерь N+/N-=2·10-7·E2

Ещё можно облучить что-нибудь пучком гамма-излучения с энергией выше 1022 кЭв. Но вот откуда этот гаммма-пучок брать?

можно "сбить в кучку"несколько электронов-половина окажеца позитронами (минимум)

Если фотон разогнать до 1 Мэв то родится электронно-позитронная пара.