Дети, а в школе доказывают (если да, то как? основная мысль), что в треугольники высоты пересекаются в одной точке?

точно не помню, но вроде так и доказывали: все точки "высот" равноудалены от концов той стороны, к которой они проводяца. Три отрезка могут пересечься лишь в одной точке. => она равноудалена от ффсех концов. (это мы доказывали, наверное, не то, что в одной точке, а именно то, что (.) эта явл-ся центром опис. окр-ти)

.
Свойства серединных перпендикуляров треугольника
1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и треугольникОкружность и треугольник

* центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

Зелёненький это исходный треугольник .. Красненький построен путём проведения через вершины линий параллельных противоположным сторонам.. . Синенькие линии эт высоты зелёненького.. . Нетрудно заметить) а также доказать) , что они же серединные перпендикуляры для красненького треугольника) ) Точа пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин, следовательно является вершиной описанной окружности ...Да, главное - окружность имеет ОДИН центр)))

В школьном курсе геометрии такой теоремы нет. Но в учебнике А. В Погорелов "Геометрия 6-10", Киев "Радянська школа", 1984 есть задача №57(2) пар. 5 на это доказательство. Идея доказательства такая же как пересечение срединных перпендикуляров треугольника.

если коротко совсем... то фундаментом всего этого.... ЯВЛЯЕТСЯ РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ... ПРИЗНАКИ... ПО КОТОРЫМ ОНИ СЧИТАЮТСЯ РАВНЫ...:)).... остальное уже в докозательствах НАДСТРАИВАЕТСЯ НАД ЭТИМ:)))... как этажи.. .

и не только высоты пересекаются в одной точке.. медианы. . и биссектрисы тоже... .

и не только ВЫСОТЫ... НО ИХ ИХ ПРОДОЛЖЕНИЯ.... ВНЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПРОИСХОДИТ ЭТА ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ иногда....:)) )

Признаки параллелограммов проистекают так же из равенства тругольников.. ЭТО ОСНОВАНАЯ МЫСЛЬ... ПРОНИЗЫВАЮЩЕЕ ВСЕ ЗДАНИЕ... СНИЗУ.. ФУНДАМЕНТ... КАК СКАЗАЛ БЫ АРХИТЕКТОР ВСЕЛЕННОЙ.... ДА?:))

помоему, ето когда проходят свойства вписанной и описанной окружностей. точнее сказать не могу :( не смог найти текста учебника - в шоке.

да доказывают в 7 классе по крайней мере в теме биссектрисы, высоты, медианы