Является ли гравитация силой?

По-разному. В Ньютоновской физике - да, является (и Ваш мысленный опыт прекрасно объясняется, странно только чудесное совпадение гравитационной массы и инертной) . В Эйнштейновской физике - нет, не является.

Если вы не ощущаете ускорения, это не значит, что его нет.

По ОТО сила гравитации - это сила инерции.
А силы инерции - фиктивные силы.

Тяготение в ОТО - такая же кажущаяся сила, как и силы инерции [1]. Только с небольшим уточнением. Подходящим преобразованием координат силы инерции могут быть исключены во всем пространстве (метрический тензор может быть приведен к так называемому "галилееву" виду) , тогда как истинное гравитационное поле не может быть исключено никакими преобразованиями координат [1], [2].

По поводу перегрузок уже ответили: это как раз проявление сил инерции. Ускоряющая сила приложена не непосредственно к каждой частичке тела, а к автобусу, ракете, самолету. Пассажир ощущает не ускорение, а силу, действующую со стороны опоры.

Что касается "наше падение будет неотличимо от равномерного движения (более того, если закроем глаза, мы не будем знать, что движемся) ", то и это не верно. Точнее это верно с точки зрения релятивистской механики, но вот электродинамика позволяет обнаружить такое движение. Заряд, движущийся с переменным ускорением, будет излучать, терять энергию. С точки зрения ОТО гравитационное поле влияет на ход чсов.. .

1. В. Паули, Теория относительности, §51.
2. Ландау, Лифшиц, Теория поля, §82

Гравитация и так на нас действует, даже если не прыгать

Нет, падая - мы не должны испытывать перегрузки. "Перегрузки" - это лишь эффект, вызванный ограничением скорости передачи взаимодействия в веществе. Представьте себе шарик из силикона. Если вы толкнете его, то он деформируется и испытыает "перегрузку". Но если вы одновременно с толканием с той же силой дернете за противоположную сторону, то (в идеале) он не деформируется и не испытает перегрузок. Гравитация действует на каждый атом нашего тела, поэтому ускоряясь под действием гравитации, мы ничего не почуствуем. Это раз.
Во-вторых, сила - это лишь скалярная величина (сила тока, например) , это только харакетристика. А гравитация - это поле. Существует несколько теорий, по-разному объясняющих существование этого поля. То притяжение, которое вы имеете ввиду, следствие искревление пространства-времени массой. Пространство-время все больше сжимается по мере приближаения к центру массы. Всё, что движется в гравитационном поле, постепенно "скатывается" к центру. При достаточно сильном гравитацонном поле затягивается даже свет. Из этого следует, что определить падение в гравитационном поле возможно. Достаточно взять резинку, соеденить ею два шарика, расположить их вдоль направления движения и следить за натяжением резинки :-) Чем дольше они будут падать, тем сильнее будет растягиваться резинка.

Перегрузка при старте ракеты вызвана тем, что сила двигателей прикладывается к вашему телу через кресло, поэтому вы чувствуете как вас вдавливает в кресло и говорите о перегрузке. Когда вы свободно падаете, гравитация (если пренебречь вашими линейными размерами) воздействует на каждую частицу тела и вы ничего не ощущаете. А вот при падении на черную дыру ваши ноги в какой-то момент будут притягиваться в разы сильнее, чем голова и вас разорвет на части. А гравитацию как силу можно засечь, скажем, по притяжению двух тел.