Помогите с тригонометрией

Решение :

1)8sin(2x/3) * sin(x/3) + 16 = 16*cos^2(x/3) – sin^2(2x/3)
Делаем замену переменных : x/3 = t, и преобразуем выражение уравнения, пользуясь тригонометрическми свойствами косинуса и синуса :

8sin(2t) * sin(t) + 16 = 16*cos^2(t) – sin^2(2t) – исходное уравнение после замены переменных ,
16 - 16*cos^2(t) = 16 *sin^2(t),
sin(2t) * sin(t) = 2 sin(t)*cos(t)*sin(t) = 2 * sin^2(t)*cos(t),
sin^2(2t) = 4* sin^2(t)*cos^2(t)
тогда уравнение запишем в виде :
16* sin^2(t)*cos(t)+ 16 *sin^2(t) + 4* sin^2(t)*cos^2(t)= 0
4*sin^2(t)*( 4*cos(t) + 4 + cos^2(t)) = 0
Найдем корни нашего уравнения :
Sin(t) = 0, t = Пи*n, n – целые числа,
x/3 = t, поэтому x= 3 *Пи*n, n – целые числа,
Решим второе уравение : 4*cos(t) + 4 + cos^2(t) = 0, сделав замену : cos(t) = y, тогда :
4*y + 4 + y^2 = 0
(Y+2)^2= 0
Y=-2, что противоречит тому, что| y|<=1, поэтому решением искомого уравнения является x= 3*Пи*n, n – целые числа.
Ответ : x= 3 *Пи*n, n – целые числа.

2)Sin^2(x) +9 = 9* cos^2(x/2) – 6 sin(x)*sin(x/2)
Делаем замену переменных : x/2= t, и преобразуем выражение уравнения, пользуясь тригонометрическми свойствами косинуса и синуса :
Sin^2(2t) +9 = 9* cos^2(t) – 6 sin(2t)*sin(t) – исходное уравнение после замены переменных
9 - 9* cos^2(t)= 9*sin^2(t)
sin(2t) * sin(t) = 2 sin(t)*cos(t)*sin(t) = 2 * sin^2(t)*cos(t),
sin^2(2t) = 4* sin^2(t)*cos^2(t)
тогда уравнение запишем в виде :
4* sin^2(t)*cos^2(t) + 9* sin^2(t) + 12* sin^2(t)*cos(t)= 0 ,
sin^2(t)*( 4 cos^2(t) + 9 + 12*cos(t)) = 0 ,
Найдем корни нашего уравнения :
Sin(t) = 0, t = Пи*n, n – целые числа,
x/2= t, поэтому x= 2 *Пи*n, n – целые числа,
Решим второе уравение : 4 cos^2(t) + 9 + 12*cos(t) = 0, сделав замену : cos(t) = y, тогда :
4*y^2+ 12*y+9 = 0
Y=-3/2, что противоречит тому, что| y|<=1, поэтому решением искомого уравнения является x= 2 *Пи*n, n – целые числа.
Ответ: x= 2 *Пи*n, n – целые числа.

3) Sin^2(2x/5) + 25 = 25* cos^2(x/5) +10*sin(2x/5)*sin(x/5)
Делаем замену переменных : x/5= t, и преобразуем выражение уравнения, пользуясь тригонометрическми свойствами косинуса и синуса :

Sin^2(2t) + 25 = 25* cos^2(t) +10*sin(2t)*sin(t) – исходное уравнение после замены переменных,
25 - 25* cos^2(t)= 25* sin^2(t)
sin(2t) * sin(t) = 2 sin(t)*cos(t)*sin(t) = 2 * sin^2(t)*cos(t),
sin^2(2t) = 4* sin^2(t)*cos^2(t)
тогда уравнение запишем в виде :
4* sin^2(t)*cos^2(t) + 25* sin^2(t) – 20 * sin^2(t)*cos(t)= 0

sin^2(t)*( 4*cos^2(t) – 20 *cos(t) +25)= 0
Найдем корни нашего уравнения :
Sin(t) = 0, t = Пи*n, n – целые числа,
x/5= t, поэтому x= 5 *Пи*n, n – целые числа,
Решим второе уравение : 4*cos^2(t) – 20 *cos(t) +25 = 0, сделав замену : cos(t) = y, тогда :
4*y^2 - 20*y + 25 = 0
D<0, поэтому действительных корней не существует, поэтому решением искомого уравнения является x= 5 *Пи*n, n – целые числа.
Ответ: x= 5*Пи*n, n – целые числа.