Задача по физике - вывод формулы

Направим ось x вертикально вниз.
Рассмотрим состояние равновесия. На поршень действуют три силы: сила тяжести mg, сила атмосферного давления p0·S и сила давления газа –p1·S (направлена вверх) . Так как поршень покоится, суммарная сила равна нулю:
F = mg + p0·S – p1·S = 0
Откуда давление в цилиндре в состоянии равновесия
p1 = mg/S + p0

Предположим, что мы сместили поршень на расстояние x вниз. Считая, что процесс изотермический, получим
pV = p1·V1;
p·S·(L0–x) = p1·S·L0
p·(L0–x) = p1·L0
p = p1·L0/(L0–x) = p1·(L0–x+x)/ (L0–x) = p1·[1+x/(L0–x)]
p = (mg/S + p0)·[1+x/(L0–x)]

Сила, действующая на поршень, будет равна
F = mg + p0·S – p·S
F = mg + p0·S – (mg/S + p0)·[1+x/(L0–x)]·S
F = mg + p0·S – mg + p0·S – (mg/S + p0)·[x/(L0–x)]·S
F = – (mg/S + p0)·[x/(L0–x)]·S
ma = – (mg + p0·S)[x/(L0–x)]
ma + (mg + p0·S)[x/(L0–x)] = 0
mx’’ + (mg + p0·S)[x/(L0–x)] = 0

Считая, что отклонение поршня мало по сравнению с L0, можно записать
mx’’ + (mg + p0·S)x/L0 = 0

когда поршень находится в равновесии, давление на него сверху (атмосферное плюс давление поршня) равно давлению снизу (сжатого газа) , т. е.
mg/S+p0=P1, откуда P1=(mg+p0S)/S. при смещении поршня на х<