найти сумму всех семи корней седьмой степени их семи. варианты: 3 + i 2 - i 0 нет правильного варианта

Сумма всех корней любой (целой) степени из любого комплексного числа равна нулю.

Запишем комплексное число в показательной форме z = r * exp(f * i), где i -- мнимая единица, и обозначим степень корня через n. Тогда по формуле Муавра

z^(1/n) = r^(1 / n) * exp((f + 2 * P * k) * i / n),

где через P я обозначил число пи, а k меняется от 0 до (n - 1). Сумма S всех корней равна

S = r^(1 / n) * [exp((f + 2 * P * 0) * i / n) + exp((f + 2 * P * 1) * i / n) + .+exp((f + 2 * P * (n - 1)) * i / n)]

(Между двумя плюсами должно стоять троеточие, но редактор съедает повторяющиеся точки. ) В квадратных скобках стоит геометрическая прогрессия с первым членом exp(f * i / n), знаменателем exp(2 * P * i / n), и числом членов n. Суммируюя её, получаем:

S = r^(1 / n) * exp(f * i / n) * (1 - (exp(2 * P * i / n))^n) / (1 - exp(2 * P * i / n)) =
r^(1 / n) * exp(f * i / n) * (1 - exp(2 * P * i)) / (1 - exp(2 * P * i / n))

Но exp(2 * P * i) = 1, поэтому окончательно имеем

S = r^(1 / n) * exp(f * i / n) * (1 - 1) / (1 - exp(2 * P * i / n)) =
r^(1 / n) * exp(f * i / n) * 0 / (1 - exp(2 * P * i / n)) = 0,

что и требовалось доказать.

ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Муавра