Вычисление корней произвольных степеней без калькулятора с произвольной точностью.

Есть- в ряд раскладывают...

есть, но ты задолбаешься в столбик складывать

Если у меня совсем нету калькулятора, то я бы следовал следующей логике:
1. если y = x^n, то посчитав количество цифр в y (обозначим a) и в x (обозначим b) мы увидим, что a<=b*n и a>b*(n-1). а ещё что x<y/10
2. взял бы максимальное и минимальное число соответствующие этим условиям.
3. бинарным поиском искал бы результат. то есть брал бы среднее арифметическое верхней и нижней границ, возводил бы в степень n сверяя с числом под корнем. Если получившийся результат меньше ожидаемого, то "среднее арифметическое" принимал бы за нижнюю границу, иначе за верхнюю, после чего повторял бы это действие.

Остановился бы или найдя точный результат (когда среднее арифметическое в степени n дало бы y) или когда величина ошибка была бы допустимой (то есть между нижней и верхней границей разница 0.03, когда мне требовался результат с точностью до 0.1)

Есть несколько способов. Например алгоритм Ньютона, позволяющий вычислять целые и дробные корни и степени. Вычисления сводятся к простым действиям, которые можно запросто выполнить на бумажке с любой необходимой точностью. Дробные корни и степени перед вычислением подвергаются несложным преобразованиям. Можно еще разложить в ряды или использовать какой-нибудь другой численный метод. Также существуют быстро сходящиеся ряды для всех тригонометрических функций и т. д. Всё можно посчитать на бумаге с любой необходимой точностью, имея всего лишь записную книжку с необходимыми формулами или зная их на память. Сложнее вычислить системы дифференциальных уравнений, описывающих, например, полет артиллерийского снаряда с учетом сопротивления воздуха. Даже в самом простом случае для дозвуковой скорости, одинаковой плотности воздуха и однородного гравитационного поля эта задача не имеет общих решений и для нее тоже существуют приближенные методы для вычисления с любой необходимой точностью, только на это требуется больше времени. Кстати самый первый в истории человечества электронный компьютер был изготовлен в ВМФ США именно для управления артиллерийской стрельбой, а потом уже был ЭНИАК и т. д.