Верно ли, что среди произвольных семи натуральных чисел можно выбрать три так, чтобы их сумма делилась бы нацело на 3?

Рассуждаем так. При делнии на 3 возможны лишь три остатка: 0, 1, -1. Если среди данных 7-ми чисел при делении на 3 получаются не более ДВУХ из этих остатков, то найдутся три числа, которые дают один и тот же остаток. Очевидно, что их сумма будет кратна трем. Если же встречаются все три остатка, то те три числа, при делении которых на 3, они получатся, в сумме будут делиться на 3, т. к. 0+1-1=0 делится на 3.

Верно.

Перейдем к степени счисления по основанию 3.

В троичной системе счисления число представляется в виде набора 0, 1, или 2. Если число делится на 3, то в троичной системе счисления оно оканчивается 0.

Итак, у нас есть семь чисел, оканчивающихся на 0, 1 или 2, и нужно подобрать такие три, чтобы в результате получилось число, оканчивающееся на 0. То есть можно рассмотреть только последние разряды.

Таким образом, задача свелась к следующей:
всегда ли из набора семи чисел, каждое из которых равно 0, 1 или 2, можно взять такие три числа, что их сумма делится на 3.

Выпишем все подходящие комбинации:
0 0 0
0 1 2
1 1 1
2 2 2
Как видно, любое число нужно взять либо 0 раз, либо 1 раз, либо 3 раза. Если этого числа в наборе 2 штуки, то остальных чисел - пять, значит, среди них найдется три одинаковых. Если это число встречается в наборе один раз, значит, остальные два числа встречаются шесть раз, и опять-таки, среди этих шести раз должно быть три одинаковых. А так, чтобы всех по два - такого в наборе из семи чисел быть не может.

Вот, как-то так.