как калькулятор высчитывает корни?

Алгоритм вычисления квадратного корня очень прост. Для точности калькулятора достаточно десятка сложений и делений.

все очень просто.
есть замечательные алгоритмы, позволяющие быстро считать любые стандартные функции.

Например, если прямая функция (y=x^2) считается легко, то нетрудно посчитать и обратную, например, методом касательных.

Конкретно, для корня S=sqrt(A):
полагаем первым приближением S0 само A, а потом считаем новое:
S(i+1) = Si - (Si^2-A)/2Si

Можете убедиться, что итерации быстро сходятся к корню, погрешность на каждом шаге не превышает разницы между S[i+1] и S

У меня есть в голове механизм вычисления корня:
√n ≈ a1
ai+1 = 0,5 (ai + n/ai)

Почему бы ему не быть в калькуляторах?

Кстати, раньше вычисляли корни простым счетом на бумажке, примерно как делят числа, чуть сложнее.
Вообще, метод совсем не обязательно должен быть в голове. Достаточно, чтобы он был в какой-нибудь книге. А вычислительная математика - наука обширная, по ней написаны сотни книг и тысячи статей.

По алгоритму вычисления квадратного корня.
Вот пример http://guidoscope.com/ru/Р? Р·РІР» ечение_квадратного_РєРѕСЂРЅСЏ_стол Р±РёРєРѕРј.

√х = х^0.5
Корень из х равен х, возведённому в степень 1/2 или 0.5. Это знает любой восьмиклассник. Калькулятор так и делает. Просто возводит в степень 0.5

P. S. Собрались тут математики хренов. Ещё скажите, что корень находится через ряды тейлора, тогда позорище будет.