Как посчитать угол в прямоугольном треугольнике точно до минут и секунд?

Не надо считать гипотенузу
На Windows-калькуляторе считаем arctg(0.8/0.84) (в градусах) , затем жмем кнопочку dms, которая переводит в градусы, минуты, секунды (минуты и секунды получаются по паре цифр после запятой, остальные цифры - доли секунды)
43,361014830173304474576303582599
т. е. 43°36'10",1483...

Поточнее этот арксинус равен 43.602805330852905215678050566465 градуса

А катеты и гипотенуза точно равны приведённым числам?

Если они приведены лишь до первого-второго знака, то результаты с большей точностью считать бессмысленно. И ко всем цифрам после этих знаков следует относиться просто как к случайным.
Для примера посчитайте тоже самое для гипотенузы 1,161 и посмотрите с какого знака начинается отличие.

Можно и строго показать какую погрешность в результат вносит погрешность входных данных, разложив арктангенс в степенной ряд. А так - просто не считать точнее, чем входные данные. Ну может быть ещё 1-2 знака в промежуточных вычислениях, а потом всё равно округлить.

Если вопрос просто в том, как десятичную дробь перевести из градусов в градусы/минуты/секунды - то в одном градусе 60 минут, в одной минуте 60 секунд.
Соответственно дробную часть градусов умножить на 60 - это будет в минутах. Оставшуюся дробную часть - ещё на 60 - это будут секунды.

>^.^<

Я вот что насчитал:
sin 43,60285° = 0,68965556
43,60285° = 43°36,171' = 43°36'10,26'' = 43°36'10''
Арктангенс на встроенном калькуляторе не нашел.

на специальном калькуляторе...