смысл некоторых операций (математика)

"Что я получу, вычислив кубический корень из объёма мирового океана? "
Ты получишь размер стороны куба, содержащего всю воду из океана, что позволит тебе его представить. Вообще не ищи в математике физического смысла. Математика - это магическая мельница. Ты засыпаешь в нее с одного конца данные, она их перемалывает и выдает результат.
Например, синус - это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе - это ясно. В школе. В институте это уже отношение мнимой части комплексного числа к его модулю, а мнимую единицу не сошедшие с ума люди себе представить не могут, хотя вся радиотехника сидит верхом на комплексной экспоненте, частью которой является число e в мнимой дробной степени ;). А на физико-математическом факультете университета синус окажется обратной функцией к эллиптическому интегралу второго рода, и я не убежден, что наглядно себе это может представить даже Господь Бог.
Основы - надо представлять себе графики этих функций и знать, что для них характерно. И немного потренироваться в их использовании. И тогда ты будешь свободно ими пользоваться, зная, что они делают, но не зная, почему, как ты привык пользоваться таблицей умножения, не задаваясь вопросом, почему 5*8 равно 8*5. Действительно, с какой стати результаты равны, вроде бы мы делаем разное? Я могу доказать, что они должны быть равны, но сказать, что это очевидно, не могу.

Ну, ты даёшь!
Извлечение корня имеет прямой смысл - нахождение стороны квадрата по площади и ребра куба по объёму.
Возведение в степень - обратное действие - по известному ребру найти объём.
Логарифмирование - тоже обратное действие - по известной стороне и площади или объёму определить, что тебе дано - площадь или объём.
Ну, и дальше (дробные степени и логарифмы) - уже просто расширение "осмысленных" операций.