Зачем нужна операция извлечения корня в математике?

Эту операцию изобрели в Древнем Египте специально для того, чтобы решать квадратные уравнения. Без квадратного корня решить такое уравнение в общем виде нельзя. Оттуда взятие корня по специальным таблицам распространилось в Вавилон и нашло широкое применение в астрономии.

Она используется в тысячах формул. Откуда это идет - очень многие формуллы требуют возведения в квадрат - площадь меняется пропорционально квадрату линейного размера фигуры, путь при равноускоренном движении пропорционально квадрату времени, кинетическая энергия пропорционально скорости и так далее без конца. . Когда мы решаем обратную задачу - размер по площади, скорость по пути при равноускоренном движении, скорость по энергии и т. д. - приходится использовать квадратный корень. Вообще очень много задач приводится к квадратным уравнениям, ждя решения которых нужен квадратный корень. А если речь пойдет об объеме, появится кубический корень. Бывает и что приходится извлекать квадратный корень из куба или кубический из квадрата - так появляются дробные степени и корни...

Нахождение стороны квадрата из его площади.

корень - это упрощенный вариант степени в виде 1/n, дабы не пугать детей
а вообще, вопрос зачем - неуместен. это стандартная процедура над числами, она участвует во многих формулах, потому что только подсчет яблок у маши, которыми она поделится с колей не требует больше, чем умение складывать и вычитать.

чтобы узнать в какой степени неизвестного числа будет это число.

для решения степенных уравнений

Если Вам нужна "чистая" математика (формальная, по сути бесконечная) , то на Ваш вопрос уже дали ответ в предидущих комментариях. Но ума от этого не прибавится. С другой стороны извлекать корни приходиться в практических делах. Например, при расчётах полного сопротивления цепи при наличии реактивных сопротивлений. Парадокс в том, что всё это придумано человеком, но и в Природе это есть. Дело в том, что многие процессы в Природе можно описать как процесс извлечения корня дробных степеней. Подчёркиваю, как "процесс". Тогда "пифагоровые штанишки" можно решать совершенно по-другому. В математике это будет выглядеть в виде цепных дробей, в физике - в виде затухающих колебаний.

Это не обратная операция, а та же самая. Применяется везде в жизни. На работе и прочее.

Допустим чтобы посчитать гипотенузу в теореме пифагора нужно воспользоваться корнем. Квадрат гипотенузы равен суме квадратов катетов. И т. д.