Подскажите удобный способ извлечения из под квадратного корня

Есть неплохой способ. Правда трудоемкий.
Представим, что нужно вычислить корень квадратный из числа n.
Пусть он равен числу к1к2к3к4...кm ( т. е. m цифр, если это не точный квадрат, то можно продолжить и дальше записывать цифры после запятой)
Тогда:
n - к1^2*10^(2m)= 2*(к1*10^m)*к +к^2 = к* (2*к1*10^m+к) , где к - искомое число без первой цифры к1.
Это шаг итерации. И так далее. Чтобы было ясно приведу пример:
Ищем корень из 54321:
10^2m - в данном случае 10 000. Поэтому первая цифра в квадрате должна быть не больше 5 - это 2.
5-2^2=1, добавляем к 1 следующие 2 разряда числа: получаем 143. Теперь 2*к1=2*2=4. Нужно найти такое к, чтобы 4_к*к было близко к 143. Это 3 - вторая цифра искомого числа. Далее:
143 - 43*3= 14
Добавляем следующие 2 разряда:
1421. Умножаем две найденные цифры (23) на 2 - получаем 46
Ищем цифру к, которая даст приближение к 1421 числа 46_к*к - это 3: 463*3=1389.
1421 - 1389 = 32.
Ищем следующую цифру (первая цифра после запятой) :
3200 (поскольку дальше цифр нет прибовляем по паре нулей) .
Найденные цифры - 233. Умножаем на 2 - получим 466
466_к*к меньше 3200 только при к=0
Найдено число 233,0
320000 приближаем 4660_к*к. к=6
320000 - 279636 = 40364 и т. д.

Мы нашли приблизительный квадратный корень из 54321. Он равен
233,06
Попробуйте этот метод на полных квадратах. Удачи!

в школе учили столбиком.
есть замечательный метод Ньютона, с помощью которого корни уравнений (а квадратный корень - это корень уравнения x^2=A) считается на несколько итераций.

Типа так: считаем корень из A
Полагаем, для начала x=А (или просто значению корня "на глазок", например - берем с потолка такое число, чтобы число знаков было вдвое меньше, чем в А)
Дальше, итерационно считаем
новое x = x - (x^2-A)/2x

Сходимость квадратичная, то есть количество точных цифр удваивается на каждой итерации.
например, считаем корень из 12345:
первое приближение: 100, дальше:
100
111.725
111.1097589
111.1080555
111.1080555 - все, есть 7 знаков после точки

вообще-то трудно представить, что под рукой нет калькулятора (а корни считают все) или компьютера.. .
Кстати, точно так же можно считать кубический корень или вовсе любой степени N:
новое x = x - (x^N-A)/Nx

Не совсем понял, что значит подбирать. Старый способ "в столбик" меня не поводил.

Калькулятор

мы наизусть таблицу учили в школе... есть калькуляторы..