ядро планеты когда остынет и остынет ли?

Всё когда-нибудь остынет.

Простейший расчёт, без учёта приливного трения, радиоактивного распада и прочее даёт срок остывания примерно до 1500 градусов около 5 миллиардов лет с сегодняшнего дня. (напомню, что сейчас Земля прожила 4.5 миллиарда только)

оно не успеет остыть полностью, так как Солце поглотит Землю через 7 миллиардов лет, а до того времени ядро будет ещё относительно горячим.

а вообще скорость остываяния ядра планеты зависит от многих факторов:
масса планеты (чем массивней планета - тем больше в ней тепла и тем дольше она остывает)
наличие радиоактивных изотопов (уран, торий калий-40 - чем их больше в ядре планеты тем горячее будет её ядро и дольше сохрянять тепло)
наличие массивных спутников (лун, планет-гигантов) из за приливных сил недра планеты могут разогреватся и тому пример спутник Юпитра Ио -весь покрыт действующими вулканами, несмотря на то что имеет массу как у нашей Луны.

Если остынет земное ядро, то Земля потеряет свое защитное магнитное поле спустя некоторое время. Сразу не потеряет - будут остаточные токи. Если извержения вулканов обусловлены в основном земным ядром (а пока доподлинно не известно, откуда же на самом деле поднимается магма - из верхних слоев мантии или из нижних) , то значительно сократится количество извержений (либо вообще прекратятся) . Если же остынет и мантия Земли, то тогда к тому же прекратится тектоническая активность, перестанут двигаться континенты, расти горы. Т. к. заряженные частицы солнечного ветра не будут больше в такой степени отклоняться от атмосферы Земли ее магнитным полем, то они станут активнее уносить атмосферу (на сегодняшний день этот показатель столь незначителен, что на полное исчезновение атмосферы потребуется время больше жизни планеты) - без источников восполнения атмосфера возможно начнет улетучиваться. Жизнь скорее всего потеряет все высшие формы жизни (возможно крупнее насекомых, которым радиация не очень опасна, не останется никого) . В отсутствие факторов роста возвышенностей (тектонической и вулканической активности) и при наличии массы факторов эрозии (ветер, вода) Земная поверхность начнет сглаживаться - горы будут разрушаться, разломы будут "зарастать". Возможно в некоторой степени изменится и орбита планеты, т. к. в настоящий момент ядро не строго в центре планеты и само не строго шарообразное - просто его вращение стабилизирует в настоящее время орбиту. Земная атмосфера будет постепенно редеть, уровень радиации будет повышаться - если Солнце долго не будет переходить в стадию красного гиганта, то возможно, что атмосфера достигнет такого состояния, что жизнь крупнее бактерий станет невозможной, а может и бактерии будут вынуждены "залечь в спячку". С разряжением атмосферы будет меняться и температурный режим - на ночной стороне станет значительно холоднее. НА солнечной - надо посчитать: с одной стороны солнечное излучение не рассеивается в атмосфере, а значит должно нагревать поверхность планеты сильнее (но расстояние -то не маленькое!) , с другой стороны - нет атмосфера, а значит ничто не удерживает тепло вблизи планеты.

Думаю очень нескоро. Сорее всего даже раньше Солнце погаснет, чем такое случится...

да, через милиардные годы. Если даже про солнце говорят что оно может погаснуть. Все не вечно..