Космонавты летают на орбиту от месяца до полгода. Что они там делают? Станцией нельзя управлять с Земли?

Управлять можно. А различные эксперименты, преимущественно по влиянию невесомости на различные процессы и по развитию технологий для использования в космосе, запланированные еще на земле, проводят люди.
Вот что запланировано, например, на понедельник

"Понедельник, 3 января
Режим управления ориентацией МКС на гиродинах американского сегмента
Регенерация поглотительного патрона фильтра очистки воздуха от микропримесей
Инвентаризация средств медконтроля
Укладка удаляемого оборудования в корабль «Прогресс М-08М»
Техническое обслуживание системы обеспечения жизнедеятельности (СОЖ)
ТВ-обращение к пятым Всероссийским юношеским научным чтениям имени С. П. Королёва
Медико-биологические исследования: «Биориск» (экспонирование комплектов с «пассивными» образцами) , «Сонокард» (отработка системы медицинского контроля на основе использования метода бесконтактного съёма физиологических параметров во время сна космонавта)
Исследование физических условий в космическом пространстве на орбите МКС: «Матрёшка-Р» (исследование динамики радиационной обстановки в российском сегменте МКС по трассе полёта станции и совершенствование средств космической дозиметрии)
Исследование Солнечной системы: «БТН-Нейтрон» (регистрация потоков нейтронов высоких энергий)
Космическая биотехнология: «Биотрек» (исследование влияния потоков тяжёлых заряженных частиц космического излучения на генетические свойства клеток-продуцентов биологически активных веществ) , «Лактолен» (изучение влияния экспозиции в условиях космического полёта на ростовые, генетические и физиологические характеристики штамма-продуцента лактолена)
Геофизика и околоземное космическое пространство: «Всплеск» (мониторинг сейсмических эффектов в околоземном космическом пространстве) , «Импульс» (зондирование ионосферы импульсными источниками плазмы) – дежурный режим
Контрактные работы и эксперименты: «EXPOSE-R» (изучение экзобиологических процессов в условиях открытого космоса)
Образование и популяризация космических исследований: «Кулоновский кристалл» (изучение динамики заряженных частиц в магнитном поле в условиях микрогравитации) "
(из плана работ на МКС на ближайшую неделю - http://www.federalspace. ru/main.php?id=2&nid=14551, убрать пробел перед .ru)

Орбитальная станция — это аппарат, предназначенный для долгосрочного пребываения людей на орбите. Если этот апарат управляется с Земли, то это уже автоматические станции. На ОС обычно выполняют научные работы, как уже сказал Krab Вark, а автомат. Станции «путешествуют» по доступному космосу и собирают нужную информацию. Некоторые планеты изучают, а некоторые висят на орбите (Хаббл, спутники связи т.. п)