Почему правильных многоугольников сколько угодно, а правильных многогранников всего пять?

Потому что мы живёт в трёхмерном мире. В четырёхмерном мире уже другие правила игры, и там число возможных вариантов становится другим.

доказательство этого факта простое. по определению: правильный многогранник составляется из правильных многоугольников в каждой вершине сходится одинаковое число ребер. чтобы построение было возможным сумма сходящихся в одной точке плоских углов должна быть строго меньше 2pi (иначе многогранный угол не сомкнется) и этих углов должны быть минимум 3 (иначе многогранный угол будет вырожденным)

.) треугольники. угол при вершине = pi/3. n*pi/3 < 2pi => n=3..5
.) квадраты. угол при вершине = pi/2. n*pi/2 < 2pi => n=3
.) пятиугольники. угол при вершине 3pi/5. n*3pi/5 < 2pi => n=3
для шестиугольников и выше тройной угол при вершине не меньше 2pi поэтому выше перечислены все (5) возможные случаи.

может быть ваш вопрос "почему" подразумевает желание получить объяснение на пальцах. можно сказать так: условие правильности для многранника ОКАЗАЛОСЬ существенно жестче чем для многоугольника

Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.) , а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.) . Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. Что же они из себя представляют?

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г. ) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.

Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг. ) в работе «Исследование о многогранниках» . В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).