Объясните почему при приближении скорости света масса тела растет?

масса не растёт

Она растет только в популярных изложениях теории относительности для упрощения объяснений.
"В некоторых источниках, в основном относящихся к началу XX века, а также научно-популярных введённое выше понятие массы называют «массой покоя» , при этом саму массу вводят на основе классического определения импульса. В таком случае и говорят, что масса тела растёт с увеличением скорости. При таком определении понятие массы фактически подменяет понятие энергии, а также требуется отдельно вводить «массу покоя» , измеряемую в собственной СО, и «релятивистскую массу» движущегося тела. Такой подход был распространён на заре становления СТО, так как позволял провести многочисленные аналогии с классической физикой, однако в современной науке нежелателен и не используется, так как вносит дополнительную путаницу в терминологии, не давая никаких новых результатов. Использование этих понятий в современной физике нежелательно. " (Википедия, статья Масса)

Что касается роста массы при ее определении по-старому, то все это не только проверено множеством экспериментов, но и давно используется в технических расчетах там, где есть большие скорости, например, при разработке ускорителей элементарных частиц.

А почему так - это следует из используемой в теории относительности модели пространства-времени и масс как центров кривизны пространства-времени. Чтобы понять, почему, нужно знать высшую математику на весьма высоком уровне.

Растёт энергия и импульс, а не масса.

Не только масса, но и размеры в сторону движения. Закон природы, тут вопрос "почему" не уместен

Согласно ТО, скорость света превзойти нельзя. Также существует связь между полной энергией тела и его массой через квадрат скорости света (ур-е Эйнштейна) . Исходя из этого, получается, что если телу продолжают сообщать извне энергию, а его скорость уже достаточно велика, эта энергия переходит в массу данного тела